Modo Goldstone en O(N)O(N)O(N) (modelo σσ\sigma no lineal)

Debe tener cuidado de que el "término de masa" que escribió sea una perturbación de la acción principal.

Para ser más precisos: podemos escribir el Lagrangiano de lo no lineal$\sigma$modelo como ($K=J/T$dónde$T$es la temperatura del sistema)

$\cal{ L}$ $= \frac{K}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-\vec\pi^2)$.

Ahora, recuerda que este modelo tiene sentido en el límite donde$K\gg1$, que corresponden, en el lenguaje de spin clásico, al límite en el que el sistema se encuentra en la fase ordenada. Por lo tanto, solo las configuraciones con$\pi\lesssim 1/\sqrt{K}$dan una contribución importante en la integral de trayectoria. Vamos a reescalar el campo por$g=1/\sqrt{K}$, lo que da

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+g\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-g\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-g\vec\pi^2)$.

Podemos expandir el Lagrangiano en potencia de$g$, lo que da

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}(\nabla \vec\pi)^2+\frac{g}{2}[(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2+\rho\vec\pi^2]+\cdots$.

Verá que el propagador desnudo (orden$g^0$) ahora no tiene espacios, y el término proporcional a$\rho$es ahora una perturbación de la acción simple (es decir, el término "masa" no está incluido en el propagador simple). De hecho, se puede demostrar que este término es necesario para asegurar que el$\vec\pi$permanecer sin espacios; este es precisamente el papel del logaritmo, que trae nuevas interacciones para asegurar la validez del teorema de Goldstone orden por orden en$g$.

No debe confundirse por el hecho de que esta perturbación es cuadrática en$\vec\pi$, que uno incluiría ingenuamente en el propagador simple, porque este es un tipo muy peculiar de teoría de la perturbación, cuyo parámetro de expansión es$g$.

El término logarítmico proviene de la función delta en la medida que impone$|{\bf n}|=1$, en cada punto$x$en la integral de trayectoria

$$Z=\int d[{\bf n}(x)]\delta(|{\bf n}(x)|^2-1) e^{-S[{\bf n}]}$$ nosotros escribimos $$d^3 n(x) \delta(|{\bf n}(x)|^2-1) = d^2 \pi(x) \sqrt{g}=\frac{d^2\pi(x)} {\sqrt{1-|{\bf \pi}|^2}}$$ dónde $g$es el determinante de la métrica. Poner este factor en la exponencial con la acción da el término $$\int d^d x[-\frac 12 \delta^d(0)\ln(1-|{\bf \pi}^2)]$$ El hecho de que el coeficiente sea $\delta^d(0)$(interpretado como $N/V$la densidad de espines) muestra que no es un término de masa ordinario. Está ahí para preservar la invariancia rotacional (y por lo tanto el modo de Goldstone) que de otro modo se rompería por la elección de coordenadas al escribir la medida como $d[\pi]$.