¿Cuál es la base bíblica para que Pedro sea el líder de los apóstoles?

La Iglesia Católica Romana reconoce ¹ que la base bíblica directa para la primacía de Pedro proviene de Mateo 16:17-19 :

¹⁷ Jesús le respondió: “Bendito seas, Simón, hijo de Jonás. Porque no os lo ha revelado la carne ni la sangre, sino mi Padre celestial.
¹⁸ Y por eso te digo, tú eres Pedro, y sobre esta roca edificaré mi iglesia, y las puertas del inframundo no prevalecerán contra ella.
¹⁹ Te daré las llaves del reino de los cielos. Todo lo que atares en la tierra será atado en los cielos; y todo lo que desatéis en la tierra será desatado en el cielo.

Además, está este pasaje de Juan 21:15-17 :

¹⁵ Cuando terminaron de desayunar, Jesús dijo a Simón Pedro: Simón, hijo de Juan, ¿me amas más que éstos? Él le dijo: “Sí, Señor, tú sabes que te amo”. Él le dijo: “Apacienta mis corderos”.
¹⁶ Entonces le dijo por segunda vez: Simón, hijo de Juan, ¿me amas? Él le dijo: “Sí, Señor, tú sabes que te amo”. Él le dijo: “Apacienta mis ovejas”.
¹⁷ Le dijo la tercera vez: Simón, hijo de Juan, ¿me amas? Pedro estaba angustiado porque le había dicho por tercera vez: "¿Me amas?" y le dijo: “Señor, tú lo sabes todo; Sabes que te amo." [Jesús] le dijo: “Apacienta mis ovejas.

Y como señaló DJClayworth en los comentarios , su papel como líder de los Apóstoles (y posteriormente, de la Iglesia primitiva) después de la muerte y resurrección de Jesús se muestra claramente, particularmente en la primera mitad de los Hechos de los Apóstoles, que presenta casi exclusivamente su misión.

^{Nota 1} : El Catecismo de la Iglesia Católica dice :

⁵⁵² Simón Pedro ocupa el primer lugar en el colegio de los Doce; Jesús le confió una misión única. Por una revelación del Padre, Pedro había confesado: "Tú eres el Cristo, el Hijo del Dios viviente". Nuestro Señor entonces le declaró: "Tú eres Pedro, y sobre esta roca edificaré mi Iglesia, y las puertas del Hades no prevalecerán contra ella". Cristo, "Piedra viva", asegura así a su Iglesia, edificada sobre Pedro, la victoria sobre los poderes de la muerte. Por la fe que confesó, Pedro seguirá siendo la roca inquebrantable de la Iglesia. Su misión será la de guardar esta fe de todo desfallecimiento y fortalecer en ella a sus hermanos.

⁵⁵³ Jesús confió una autoridad específica a Pedro: "A ti te daré las llaves del reino de los cielos, y todo lo que ates en la tierra quedará atado en los cielos, y todo lo que desates en la tierra quedará desatado en los cielos". El "poder de las llaves" designa autoridad para gobernar la casa de Dios, que es la Iglesia. Jesús, el Buen Pastor, confirmó este mandato después de su Resurrección: "Apacienta mis ovejas". El poder de "atar y desatar" connota la autoridad para absolver los pecados, pronunciar juicios doctrinales y tomar decisiones disciplinarias en la Iglesia. Jesús confió esta autoridad a la Iglesia a través del ministerio de los apóstoles y en particular a través del ministerio de Pedro, el único a quien confió específicamente las llaves del reino.

Mark Trapp tuvo una buena respuesta bíblica, pero aquí hay otra pepita:

Juan 20:3-5 (DRA)
³ Pedro, pues, salió con el otro discípulo, y llegaron al sepulcro.
    ⁴ Y ambos corrieron juntos, y el otro discípulo corrió más que Pedro, y llegó primero al sepulcro.
    ⁵ Y cuando se inclinó, vio las telas de lino puestas; pero sin embargo no entró.
   

Aquí, Juan muestra deferencia a Pedro, como líder, debe ser el primero en inspeccionar la tumba vacía. Esa deferencia podría deberse solo a la edad, pero está claro que John pensó que Peter era quien debería inspeccionar la tumba primero. Si no lo hubiera hecho, A.) habría entrado primero y B.) no se habría molestado en escribir sobre eso tantos años después.