¿Cada transformación de Lorentz es un impulso puro más algo de rotación?

Question

¿Cada transformación de Lorentz es un impulso puro más algo de rotación?

Átomo

Estoy estudiando por mi cuenta la Relatividad Especial y la Teoría Clásica de Campos de Friedman y Susskind .
Definen una transformación general de Lorentz (que mantiene el origen fijo) como un impulso de Lorentz en $x$ -dirección compuesta con alguna(s) rotación(es) espacial(es). Me he probado a mí mismo que una transformación tan general de Lorentz $L$ (dejando el origen sin cambios) correspondiente a la velocidad $\mathbf v = (v_x, v_y, v_z)$ (usando $c=1$ ) es dado por

L = (\begin{matrix} γ & - γ v_{X} & - γ v_{y} & - γ v_{z} \\ - γ v_{X} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{X}^{2}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{y}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{z}}{v^{2}} \\ - γ v_{y} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{y}}{v^{2}} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{y}^{2}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{y} v_{z}}{v^{2}} \\ - γ v_{z} & (γ - 1) \frac{v_{X} v_{X}}{v^{2}} & (γ - 1) \frac{v_{y} v_{z}}{v^{2}} & 1 + (γ - 1) \frac{v_{z}^{2}}{v^{2}} \end{matrix}),

$L = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v_x & -\gamma v_y & -\gamma v_z\\ -\gamma v_x & 1+(\gamma -1){v_x^2\over v^2} & (\gamma-1){v_xv_y\over v^2} & (\gamma-1){v_xv_z\over v^2}\\ -\gamma v_y & (\gamma-1){v_xv_y\over v^2} & 1+(\gamma-1){v_y^2\over v^2} & (\gamma-1){v_yv_z\over v^2}\\ -\gamma v_z & (\gamma-1){v_xv_x\over v^2} & (\gamma-1){v_yv_z\over v^2} & 1+(\gamma-1){v_z^2\over v^2}\\ \end{pmatrix},$

tal que para cualquier vector de 4 $x$ , el mismo vector observado por el observador en movimiento está dado por $Lx$ . ( $\gamma = 1/\sqrt{1-\mathbf v^2}$ .)

Ahora, muchos recursos (como la respuesta aceptada en esta antigua publicación mía de SE) definen una matriz de transformación de Lorentz (aún con el origen fijo) para ser cualquier matriz $\Lambda$ , satisfactorio $\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$ , para la métrica de Minkowski $\eta$ . He probado que esta es una condición necesaria y suficiente para dejar invariantes los productos internos.

Pero, correspondiente a tal $\Lambda$ , ¿existe un $L$ del formulario de arriba?

Respuestas (2)

¿Cada transformación de Lorentz es un impulso puro más algo de rotación?

usuario1379857 · Answer 1

No, el grupo de Lorentz contiene todas las rotaciones, aumentos y composiciones de rotaciones y aumentos. Lo que ha escrito es la forma más general de impulso. Sin embargo, una rotación pura, como

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & porque θ & 0 & pecado θ \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - pecado θ & 0 & porque θ \end{matrix})

$\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \end{equation}$ no se puede escribir de esa forma.

Editar: nunca he visto la forma más general de una transformación de Lorentz escrita. Me imagino que probablemente sea una expresión desordenada, dependiendo de tres ángulos de Euler (para rotaciones) y tres componentes de velocidad (para impulsos). Dependería en gran medida de cómo desee parametrizarlo, y para la mayoría de los usos no estoy seguro de que tal expresión sea útil (excepto tal vez para satisfacer cierta curiosidad intelectual, y eso cuenta para algo).

Sin embargo, diré que una buena manera de "parametrizar" grupos en general es usar los "generadores" del grupo y exponenciarlos (usando la matriz exponencial ).

Por ejemplo, el grupo de Lorentz es "generado" por las seis matrices $K_x, K_y, K_z, L_x, L_y, L_z$ , correspondiente a impulsos y rotaciones infinitesimales,

k_{X} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{X} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_x = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

k_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

k_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) L_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{equation} K_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} L_z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation}$

Por ejemplo, una rotación alrededor del $y$ eje por un pequeño ángulo $\theta$ podría escribirse como

I + θ L_{y} + O (θ^{2})

$\begin{equation} I + \theta L_y + \mathcal{O} (\theta^2) \end{equation}$ por eso decimos que

L_{y}

$L_y$ "genera" rotaciones alrededor del eje y. Para un ángulo finito (no infinitesimal), podríamos escribir la rotación en términos de la matriz exponencial como

{mi}^{θ L_{y}} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & porque θ & 0 & pecado θ \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - pecado θ & 0 & porque θ \end{matrix}) .

$\begin{equation} e^{\theta L_y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix}. \end{equation}$

Los impulsos se pueden escribir de la misma manera usando la rapidez del impulso, que llamaré $\phi$ . Por ejemplo, un impulso a lo largo de la dirección z se puede escribir como

{mi}^{ϕ k_{z}} = (\begin{matrix} aporrear ϕ & 0 & 0 & pecado ϕ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ pecado ϕ & 0 & 0 & aporrear ϕ \end{matrix}) .

$\begin{equation} e^{\phi K_z} = \begin{pmatrix} \cosh \phi & 0 & 0 & \sinh \phi \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh \phi & 0 & 0 & \cosh \phi \end{pmatrix}. \end{equation}$

Ahora, finalmente explicaré cómo "parametrizar" el grupo de Lorentz. Cada transformación de Lorentz se puede escribir como

Λ = {mi}^{θ (\hat{norte} \cdot \vec{L}) + ϕ (\hat{metro} \cdot \vec{k})}

$\begin{equation} \Lambda = e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) + \phi (\hat m \cdot \vec{K})} \end{equation}$ dónde

\hat{n}

$\hat n$ y

\hat{m}

$\hat m$ ambos son vectores unitarios (

| \hat{n} | = | \hat{m} | = 1

$|\hat n| = |\hat m| = 1$ ) y

\vec{L}

$\vec L$ y

\vec{K}

$\vec K$ es solo una notación que estoy usando para un "vector de matrices", por ejemplo

\vec{L} = (L_{x}, L_{y}, L_{z})

$\vec L = (L_x, L_y, L_z)$ y

\hat{n} \cdot \vec{L} = n_{x} L_{x} + n_{y} L_{y} + n_{z} L_{z}

$\hat n \cdot \vec L = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z$ . Esta parametrización se puede considerar como una especie de "continuamente" realizando una rotación por

θ

$\theta$ mientras que también "impulsado" por la rapidez

ϕ

$\phi$ al mismo tiempo. Sin embargo, no se descompone muy bien en una composición de impulso y rotación, porque los generadores de rotación y impulso no conmutan.

{mi}^{θ (\hat{norte} \cdot \vec{L}) + ϕ (\hat{metro} \cdot \vec{k})} \neq {mi}^{θ (\hat{norte} \cdot \vec{L})} {mi}^{ϕ (\hat{metro} \cdot \vec{k})}

$\begin{equation} e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) + \phi (\hat m \cdot \vec{K})} \neq e^{\theta (\hat n \cdot \vec{L}) }e^{\phi (\hat m \cdot \vec{K})} \end{equation}$

Solo una pregunta más: ¿puede escribir (o dar un resumen, si eso es demasiado complicado de escribir) la forma más general de una transformación de Lorentz?
@Atom La transformación de Lorentz adecuada más general es su matriz de impulso general de tres parámetros premultiplicada o posmultiplicada por una matriz de rotación general de tres parámetros. También hay transformaciones impropias que involucran inversión espacial e inversión temporal.
Hasta ahora, esta respuesta describe solo las transformaciones de Lorentz adecuadas , que comprenden solo una cuarta parte del grupo completo de Lorentz.
Sí, también puede multiplicar por inversión de tiempo, paridad o ambos para que las transformaciones de Lorentz no estén continuamente conectadas a la identidad. De hecho, hay 4 componentes conectados del grupo de Lorentz.
Muchas gracias @user1379857 por tu edición. Sin embargo, no estoy familiarizado con este tipo de grupos y matrices exponenciales en este momento. Definitivamente regresaré a esto en el futuro cuando me haya familiarizado con esto.
@G.Smith ¿No debería haber dieciséis grupos conectados, en lugar de solo cuatro? parece que tenemos $2^4$ combinaciones para cambiar los signos en los cuatro lugares de una tupla de 4.
Digamos que cambias el signo de las direcciones x e y. Ese flip se puede deshacer con un $180^\circ$ rotación alrededor del eje z. Dos "cambios" cualesquiera de la dirección espacial siempre lo envían de vuelta al componente conectado original.
@Atom Hay cuatro componentes conectados del grupo completo de Lorentz. Solo uno de ellos puede ser un grupo por sí mismo, porque la transformación de la identidad vive en un solo componente.
@Atom Solo hay cuatro , no 16. Solo necesita considerar la inversión espacial (negando las tres coordenadas espaciales) y la inversión de tiempo. No es correcto considerar también los reflejos (negando una coordenada espacial) porque estos son equivalentes a una inversión completa combinada con una rotación.
@ G.Smith ¡Es ahora que puedo verlo! Entendí mal antes (pero eso se debió a mi falta de conocimiento, ¡el comentario del usuario 1379857 también fue muy útil!). ¡Gracias a los dos!

el_simpatizante · Answer 2

Para agregar a la discusión lo que @ user1379857 no hizo con respecto a "cómo se ve escrita explícitamente la transformación de Lorentz adecuada más general", proporcionaré esto como una derivación.

Las tres matrices de rotación (tenga en cuenta que prefiero los ángulos de Tait-Bryan en lugar de los ángulos de Euler más "físicos" porque los encuentro más intuitivos, ya que puede pensar en apuntar una nave puntiaguda) para un objeto en el espacio 3D, inicialmente apuntando a lo largo de la $z$ -eje, donde el $y$ -el eje es vertical, el $x$ El eje es horizontal y el $z$ -los puntos del eje en la pantalla, parecen

R_{R} (θ_{R}) := [\begin{matrix} porque (θ_{R}) & - pecado (θ_{R}) & 0 \\ pecado (θ_{R}) & porque (θ_{R}) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$R_R(\theta_R) := \begin{bmatrix} \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_R) && 0 \\ \sin(\theta_R) && \cos(\theta_R) && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

para rollo , y

R_{PAG} (θ_{PAG}) := [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & porque (θ_{PAG}) & - pecado (θ_{PAG}) \\ 0 & pecado (θ_{PAG}) & porque (θ_{PAG}) \end{matrix}]

$R_P(\theta_P) := \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && \cos(\theta_P) && -\sin(\theta_P) \\ 0 && \sin(\theta_P) && \cos(\theta_P) \end{bmatrix}$

para tono , y finalmente

R_{Y} (θ_{Y}) := [\begin{matrix} porque (θ_{Y}) & 0 & - pecado (θ_{Y}) \\ 0 & 1 & 0 \\ pecado (θ_{Y}) & 0 & porque (θ_{Y}) \end{matrix}]

$R_Y(\theta_Y) := \begin{bmatrix} \cos(\theta_Y) && 0 && -\sin(\theta_Y) \\ 0 && 1 && 0 \\ \sin(\theta_Y) && 0 && \cos(\theta_Y) \end{bmatrix}$

para guiñada . El orden de aplicación pertinente es primero hacer rodar (inclinar) la embarcación de lado a lado, luego inclinarla hacia arriba o hacia abajo y, finalmente, girarla hacia la izquierda o hacia la derecha:

R_{R PAG Y} (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y}) := R_{Y} (θ_{Y}) R_{PAG} (θ_{PAG}) R_{R} (θ_{R})

$R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) := R_Y(\theta_Y) R_P(\theta_P) R_R(\theta_R)$

es la rotación total en el espacio 3D. Si haces esas multiplicaciones de matrices, idealmente con la ayuda de una computadora (!), obtienes este horrible lío:

R_{R PAG Y} (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y}) = [\begin{matrix} porque (θ_{Y}) porque (θ_{R}) - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) - porque (θ_{Y}) pecado (θ_{R}) & - pecado (θ_{Y}) porque (θ_{PAG}) \\ porque (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) & - pecado (θ_{PAG}) \\ pecado (θ_{Y}) porque (θ_{R}) + porque (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{Y}) porque (θ_{PAG}) \end{matrix}]

$R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) = \begin{bmatrix} \cos(\theta_Y) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \cos(\theta_Y) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \cos(\theta_P) \\ \cos(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_P) \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_P) \\ \sin(\theta_Y) \cos(\theta_R) + \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_P)\end{bmatrix}$

Yendo al espacio-tiempo, debemos agregar la coordenada temporal, a saber.

^{(4)} R_{R PAG Y} (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y}) := [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & porque (θ_{Y}) porque (θ_{R}) - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) - porque (θ_{Y}) pecado (θ_{R}) & - pecado (θ_{Y}) porque (θ_{PAG}) \\ 0 & porque (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) & - pecado (θ_{PAG}) \\ 0 & pecado (θ_{Y}) porque (θ_{R}) + porque (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{Y}) pecado (θ_{PAG}) porque (θ_{R}) - pecado (θ_{Y}) pecado (θ_{R}) & porque (θ_{Y}) porque (θ_{PAG}) \end{matrix}]

$^{(4)}R_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y) := \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \cos(\theta_Y) \sin(\theta_R) && -\sin(\theta_Y) \cos(\theta_P) \\ 0 && \cos(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_P) \cos(\theta_R) && -\sin(\theta_P) \\ 0 && \sin(\theta_Y) \cos(\theta_R) + \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \sin(\theta_P) \cos(\theta_R) - \sin(\theta_Y) \sin(\theta_R) && \cos(\theta_Y) \cos(\theta_P)\end{bmatrix}$

Pero, como notó, para obtener una transformación general de Lorentz, en realidad no necesitamos una matriz de refuerzo arbitraria , solo necesitamos una, y aquí es donde la intuición "artesanal" de los ángulos de Tait-Bryan se vuelve aún más útil. Piénselo como volar una nave espacial relativista, que comienza inicialmente "en reposo" en algún marco terrestre, apuntando a lo largo de su $z$ -eje. Si desea ir a algún lugar, primero debe orientar su nave de acuerdo con algún posicionamiento $(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$ , y luego activaría sus propulsores, elevando su rapidez a algún $\phi$ para el crucero. Desde su punto de vista, el morro de su barco siempre está mirando hacia abajo . $z$ -eje, por lo que sólo necesitamos considerar el $z$ -aumentar:

^{(4)} B_{z} (ϕ_{z}) := [\begin{matrix} aporrear (ϕ_{z}) & 0 & 0 & pecado (ϕ_{z}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ pecado (ϕ_{z}) & 0 & 0 & aporrear (ϕ_{z}) \end{matrix}]

$^{(4)}B_z(\phi_z) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_z) && 0 && 0 && \sinh(\phi_z) \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ \sinh(\phi_z) && 0 && 0 && \cosh(\phi_z) \end{bmatrix}$

Ahora, dado que estamos imaginando que esto sucede desde el punto de vista del piloto , pero producimos las matrices de rotación desde nuestro punto de vista externo, debemos retroceder a través de la matriz de rotación, por lo que su marco de Lorentz cambia a través de:

^{(4)} L (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y}, ϕ) :=^{(4)} B_{z} (ϕ)^{(4)} R_{R PAG Y}^{- 1} (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y})

$^{(4)} L(\theta_R, \theta_P, \theta_Y, \phi) :=\ ^{(4)} B_z(\phi)\ ^{(4)} R^{-1}_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$

correspondiente al cambio de orientación de la nave seguido por el acoplamiento del propulsor.

Ahora también podríamos escribir eso, pero puedes llegar a donde irá esto dado lo que di arriba para el $^{(4)}R_\mathrm{RPY}$ matriz y... sí.

Pero sí, entonces, es un impulso más una rotación para el grupo adecuado : el resto del grupo de Lorentz también implicará una mayor reflexión tanto en el espacio como en el tiempo , lo que da 4 combinaciones posibles (orientación espacial invertida/no invertida + temporal orientación invertida/no invertida), así que 4 "hojas" más de transformaciones (cf. grupo de Lie).

AGREGAR: como se menciona en los comentarios, en realidad necesita las dos matrices de impulso restantes; si el libro de Susskind sugirió que puede salirse con la suya $x$ -eje (aquí $z$ -axis) impulso solo, ¡estaba mal! Para continuar con la ilustración anterior, imagina que después de encender sus motores, el barco es "empujado" desde la izquierda o la derecha o desde arriba o desde abajo con alguna fuerza, golpeándolo con rapidez adicional. $\phi_x$ y $\phi_y$ . entonces necesitamos

^{(4)} B_{X} (ϕ_{X}) := [\begin{matrix} aporrear (ϕ_{X}) & pecado (ϕ_{X}) & 0 & 0 \\ pecado (ϕ_{X}) & aporrear (ϕ_{X}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$^{(4)}B_x(\phi_x) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_x) && \sinh(\phi_x) && 0 && 0 \\ \sinh(\phi_x) && \cosh(\phi_x) && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

^{(4)} B_{y} (ϕ_{y}) := [\begin{matrix} aporrear (ϕ_{y}) & 0 & pecado (ϕ_{y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ pecado (ϕ_{y}) & 0 & aporrear (ϕ_{y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$^{(4)}B_y(\phi_y) := \begin{bmatrix} \cosh(\phi_y) && 0 && \sinh(\phi_y) && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ \sinh(\phi_y) && 0 && \cosh(\phi_y) && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

y ahora tenemos la matriz de impulso de Lorentz completa (tenga en cuenta que diferirá si usa una secuencia diferente, pero me imagino que el empujón de izquierda/derecha viene primero, seguido por el de arriba/abajo):

^{(4)} B_{X y z} (ϕ_{X}, ϕ_{y}, ϕ_{z}) :=^{(4)} B_{y} (ϕ_{y})^{(4)} B_{X} (ϕ_{X})^{(4)} B_{z} (ϕ_{z})

$^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z) :=\ ^{(4)} B_y(\phi_y)\ ^{(4)} B_x(\phi_x)\ ^{(4)} B_z(\phi_z)$

que, nuevamente usando nuestra computadora, es

^{(4)} B_{X y z} (ϕ_{X}, ϕ_{y}, ϕ_{z}) = [\begin{matrix} aporrear (ϕ_{y}) aporrear (ϕ_{X}) aporrear (ϕ_{z}) & aporrear (ϕ_{y}) pecado (ϕ_{X}) & pecado (ϕ_{y}) & aporrear (ϕ_{y}) aporrear (ϕ_{X}) pecado (ϕ_{z}) \\ pecado (ϕ_{X}) aporrear (ϕ_{z}) & aporrear (ϕ_{X}) & 0 & pecado (ϕ_{X}) pecado (ϕ_{z}) \\ pecado (ϕ_{y}) aporrear (ϕ_{X}) aporrear (ϕ_{z}) & pecado (ϕ_{y}) pecado (ϕ_{X}) & aporrear (ϕ_{y}) & pecado (ϕ_{y}) aporrear (ϕ_{X}) pecado (ϕ_{z}) \\ pecado (ϕ_{z}) & 0 & 0 & aporrear (ϕ_{z}) \end{matrix}]

$^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z) = \begin{bmatrix} \cosh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \cosh(\phi_y) \sinh(\phi_x) && \sinh(\phi_y) && \cosh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \sinh(\phi_z) \\ \sinh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \cosh(\phi_x) && 0 && \sinh(\phi_x) \sinh(\phi_z) \\ \sinh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \cosh(\phi_z) && \sinh(\phi_y) \sinh(\phi_x) && \cosh(\phi_y) && \sinh(\phi_y) \cosh(\phi_x) \sinh(\phi_z)\\ \sinh(\phi_z) && 0 && 0 && \cosh(\phi_z)\end{bmatrix}$

y luego el verdadero cuarto de grupo "completo" de Lorentz es

^{(4)} L (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y}, ϕ_{X}, ϕ_{y}, ϕ_{z}) :=^{(4)} B_{X y z} (ϕ_{X}, ϕ_{y}, ϕ_{z})^{(4)} R_{R PAG Y}^{- 1} (θ_{R}, θ_{PAG}, θ_{Y})

$^{(4)} L(\theta_R, \theta_P, \theta_Y, \phi_x, \phi_y, \phi_z) :=\ ^{(4)} B_{xyz}(\phi_x, \phi_y, \phi_z)\ ^{(4)} R^{-1}_{RPY}(\theta_R, \theta_P, \theta_Y)$

donde el piloto primero se orienta, luego enciende los motores, obtiene una patada izquierda y luego una patada inferior, ¡lo que va a ser realmente horrible de escribir! Pero puedes hacerlo, y entonces tendrás casi (hasta algunas reflexiones) el elemento de grupo de Lorentz más general.

Si está sugiriendo que una transformación de Lorentz general adecuada tiene solo cuatro parámetros, está mal. Tiene seis .
@GRAMO. Smith: Tienes razón. OP me lanzó: "Definen una transformación general de Lorentz (que mantiene el origen fijo) como un impulso de Lorentz en la dirección x compuesta con algunas rotaciones espaciales".
Para agregar los 2 restantes, imagine que la nave recibe un "empujón" desde la izquierda/derecha o desde arriba/abajo además de los motores, por lo que necesitará un $^{(4)} B_x(\phi_x)$ y $^{(4)} B_y(\phi_y)$ matriz.

¿Cada transformación de Lorentz es un impulso puro más algo de rotación?

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