¿La teoría cuántica de campos se define por su regularización reticular?

Una afirmación que he escuchado muchas veces es que QFT está "definido" por la red, o que la "única" definición de QFT está en la red (cuando existe tal definición, por ejemplo, en la teoría pura de Yang-Mills). Eso lo he escuchado de mucha gente a la que respeto, pero tengo mis dudas. Específicamente, la red es una definición algorítmica de aquellas cantidades que se pueden calcular en el espacio-tiempo euclidiano. Como dije en mi respuesta a esta pregunta , este es un subconjunto adecuado de todas las cantidades físicas que puede interesarle calcular en general, y muchas situaciones físicas no tienen una formulación euclidiana. ¿Hay alguna respuesta a esta objeción que me falta, o estoy siendo ingenuo de alguna manera?

Creo que es correcto. Sin embargo, tenga en cuenta que en la literatura matemática existente casi siempre tiene que imponer una condición llamada positividad de reflexión (más o menos que la continuación analítica existe y se comporta bien). Entonces, mientras que la definición de red puede pasar por alto ciertas situaciones físicamente razonables, las otras teorías de campo constructivas más esotéricas ciertamente pasan por alto muchas más. Sin embargo, quizás haya algunas soluciones alternativas, estoy seguro de que algunos teóricos del campo de celosía han trabajado en eso.
Estoy de acuerdo en que es probablemente el mejor enfoque para hacer cálculos en QFT no perturbativo, pero por ejemplo, no me queda claro si es la forma correcta de aclarar los fundamentos matemáticos del tema. Las teorías de campos constructivos tienen sus propios problemas, estoy de acuerdo.
Moshe fue una de las personas más prolíficas en este sitio hace unos años. Pero ahora este sitio solo lo reconoce con el triste seudónimo hipergenérico de "user566". Esto es lo que obtiene al usar la autoconversión de enlace/nombre en lugar de escribir explícitamente el nombre de usuario en texto claro. ¡Gracias SE!
De hecho solo por el hecho de advertir de este hecho, después de muchos años de estar en este sitio, acabo de tener mis cuotas diarias de voto limitadas.

Respuestas (5)

Solo puedo suponer que "QFT se define en la / una red" significa que ciertos infinitos en QFT lagrangiano provienen de definir QFT en una variedad suave (lorentziana o euclidiana), mientras que muchos físicos sospechan que la "suavidad" es una aproximación que rompe hacia abajo en una cierta escala de longitud (como la longitud de Planck), e incorporar la verdadera naturaleza cuántica del espacio-tiempo curará los infinitos QFT. En este sentido, definir QFT en una red es una mejor aproximación que definir QFT en una variedad uniforme.

Sin embargo, objetaría que no existe un marco único y unificador para hacer QFT, Lagrangian QFT es solo un enfoque. Por supuesto, existe QFT algebraico/local/axiomático que no tiene ningún problema para definir QFT en variedades de Lorentzian hiperbólicas globalmente; sí tiene un problema con la construcción de modelos interesantes, pero en las últimas dos décadas ha habido algún progreso. .

Ha habido un enfoque específico que eleva las expansiones de productos del operador a una propiedad definitoria, un axioma, de QFT, comenzó en algún momento alrededor de este documento:

En esta tesis se puede encontrar una introducción y un ejemplo de juguete:

Este es un enfoque muy nuevo, que cito principalmente para ilustrar que queda mucho espacio para el desarrollo de un enfoque unificador y axiomático de QFT que, cuando se encuentre, puede cambiar significativamente nuestra forma de pensar sobre QFT.

(También soy consciente del hecho de que muchas personas en gravedad cuántica piensan que todo sobre QFT está dicho y hecho: bueno, dispárame).

Es posible que se sorprenda de la cantidad de personas que trabajan en la teoría de cuerdas simpatizarían con sus opiniones (más o menos: QFT es difícil y misterioso), especialmente ahora que hemos descubierto que, después de todo, estamos trabajando en QFT. En cuanto a la cuestión de la definición de QFT, creo que la idea es que existe una forma algorítmica de calcular cualquier cantidad con una precisión arbitraria utilizando la red. Es la parte de "cualquier cantidad" que no entiendo.

Moshe, espero que otros den su respuesta y también me gustaría leerla.

Pero estoy de acuerdo con usted en que los cálculos euclidianos son "solo" buenos para algunas cantidades bastante importantes que son fáciles de calcular en la configuración euclidiana, y deberían continuarse en el espacio-tiempo de Minkowski. Algunas preguntas que dependen del tiempo seguramente hacen que sea más natural tratar de resolver las cosas directamente en el espacio-tiempo de Minkowski. Sin embargo, el conjunto completo de amplitudes de dispersión en el caparazón o funciones de Green fuera del caparazón es un conjunto muy importante de observables y, en cierto sentido, contiene "todo el conocimiento dinámico" sobre la teoría. Y este conocimiento dinámico se calcula mucho más naturalmente en la configuración euclidiana, por lo que la gente como yo no tendría miedo de decir que los cálculos euclidianos son más fundamentales.

Independientemente de eso, está la cuestión de la QFT de celosía. Lattice QCD generalmente está destinado a denotar los cálculos de Monte Carlo, etc. y se calculan en el espacio-tiempo euclidiano. Sin embargo, también puede discretizar solo las coordenadas espaciales, hacer el QCD de la red hamiltoniana y mantener el espacio de Minkowski. Separaría el espacio-tiempo euclidiano de la reticulación como dos procedimientos diferentes y en gran medida independientes.

Discretizar el espacio-tiempo es un procedimiento sencillo para aproximar una teoría real si queremos calcularla en una computadora digital. Muchas personas piensan "discretamente" y tienen problemas para distinguir la realidad de los modelos informáticos. Es por eso que piensan que los modelos discretos son "reales", y la QCD de celosía es su definición de elección. Por supuesto, no hay nada científico en esta actitud.

La naturaleza no tiene problemas para trabajar con cantidades continuas - y campos que dependen de variables continuas (e incluso de infinitas variables, si es necesario) - e incluso los físicos, que son mucho más limitados que la naturaleza, han aprendido muchas formas matemáticas que les permiten calcular directamente los resultados en el espacio-tiempo continuo.

No hace falta decir que algunas propiedades del sistema cambian cuando el espacio-tiempo se rota con Wick hacia el euclidiano (o hacia atrás); y cuando se discretiza el espacio-tiempo. La primera transformación cambia las condiciones de realidad de los espinores y produce varios problemas con los fermiones. La segunda transformación, la discretización, también produce sus problemas relacionados con los fermiones, el problema de la duplicación de fermiones, etc. Además, rompe la simetría de traslación continua, y debido a que la supersimetría cambia a traslaciones, las redes inevitablemente también rompen (la mayoría de) las supercargas. .

Por supuesto, si uno ve la supersimetría como una propiedad clave de una teoría, su pérdida es un gran problema y en su mayoría invalida la idea de que la definición de red es "más real" o "más fundamental".

Para resumir, la reticulación es solo una forma particular, una de las formas conceptualmente más simples o directas, de definir una teoría que fluye hacia la teoría cuántica de campos deseada a largas distancias. Y algunas personas quieren limitar su razonamiento a la red porque creen que su deber como científicos es comportarse de la manera más similar posible a una computadora digital sin sentido. (Incluso las computadoras pueden tratar con enfoques que no sean de celosía, pero eso requiere que ellos y los programadores aprendan algunas matemáticas serias y no solo operaciones mecánicas en una celosía). Hasta donde yo sé, no hay justificación científica de la idea de que " La definición correcta" de una teoría de campo debería reducirse en última instancia a una red.

Lattice QCD se define en una cuadrícula con espaciado a , y dónde en los enlaces de borde hay potenciales de calibre. Los espaciamientos recíprocos de la red son cortes de impulso y deben establecerse de modo que la masa de quarks más pesada sea metro q   >>   1 / a . Entonces, el espaciado de la red no es del todo arbitrario. Una diferencia discreta en los potenciales de calibre define los campos

F i j   =   ( A j ( X ′ )   −   A i ( X ” ) )   −   ( A i ( X ” ′ )   −   A j ( X ” ′ ) )   −   gramo ( A j ( X ′ ) A i ( X ” )   −   A i ( X “ ′ ) A j ( X “ ′ ) )
donde las coordenadas se ilustran en la figura. Los índices de calibre interno están implícitos.

Plaqueta en una red cuántica

Esto evalúa el potencial de calibre alrededor de un cuadrado o plaqueta, que se encuentra en una cuadrícula grande. Luego, el campo se evalúa como se evalúa un campo magnético como B   =   − ∇ × A según lo evaluado en el área de la plaqueta. Esto significa que el Lagrangiano para el sistema cuántico es periódico y es similar en algunos aspectos a un potencial de Bloch. El límite en el que uno toma el espaciado de la red lo suficientemente pequeño, la divertida naturaleza periódica del Lagrangiano debido a que la red juega un papel insignificante. Esta es una de las razones por las que los espaciamientos reticulares inversos tienen que ser más pequeños que las masas de los quarks.

Entonces, la red es un enfoque de elementos finitos para QFT, que se establece en la escala de corte de la teoría. Lattice QCD se trabaja porque la naturaleza no lineal de la teoría hace que los cálculos explícitos sean extremadamente difíciles, particularmente debido a la proyección inversa. Esto hace que el cálculo del espectro de hadrones sea difícil cuando uno no tiene libertad asintótica para trabajar.

¿Para qué es el voto negativo? Jeebus hombre! ¡Cobarde anónimo muestra tu cara!
@space: no fui yo, pero: A. Esta es una colección aleatoria de hechos verdaderos en su mayoría (pero no del todo), que no se suman a una respuesta que aborde la pregunta. B. Relájate, hombre.
@Moshe, simplemente me molesta cuando veo que una persona es atacada de esta manera. Ahora puede o no ver esta respuesta como totalmente en línea con su pregunta, pero el primer párrafo da una muy buena respuesta de por qué una formulación de celosía es natural. Después de eso, continúa explicando cómo se calculan los observables en el enfoque de celosía. Sí, él no responde directamente a su consulta sobre la formulación euclidiana que menciona en los detalles de su pregunta. Pero su respuesta no es de ninguna manera "no útil". Lo sorprendente es que, a pesar de esta votación negativa dirigida, @Lawrence tiene (cont.)
(cont.) ya acumuló una reputación impresionante, que sé que significa "nada" para algunos. Pero esto ha estado sucediendo con cada una de las respuestas de @Lawrence. Votos negativos sin explicación. Algunos en respuestas excepcionalmente buenas. Parece un empujón decidido para disuadir a alguien, que claramente tiene un conocimiento profundo de muchos temas complejos, de ser un participante útil. La única forma de descubrir a los que están detrás de tal comportamiento es llamarlos con métodos anticuados. Y claramente parece estar funcionando. ¡Salud!
@space: no estoy de acuerdo, solo decir un montón de hechos en la vecindad general del tema mencionado no es una respuesta útil (también hay algunos errores). No he rechazado esto, pero no veo esa acción necesariamente como ridícula o mezquina.
En cuanto a los aspectos incorrectos de su respuesta, ¿por qué no los señala para que puedan ser objeto de discusión? ¿O es una tarea demasiado trivial para ti?
En cuanto a la reputación, realmente no me gusta este sistema. Está claro que solo con ser persistente puedes aumentar ese número tonto, está lejos de ser un indicador de calidad de nada.
@Moshé. No es ridículo ni mezquino cuando ocurre sólo de vez en cuando y tal vez con (o incluso sin) alguna justificación. Cuando sucede con cada respuesta individual que da un individuo, obviamente hay un patrón. Y no, la reputación no es un sistema tan inútil como crees. Pero esa es una discusión para meta.
OK, lo confesaré: voté en contra de esto. Principalmente porque trata de responder a la pregunta "¿qué es la teoría del calibre de celosía?", que no es la pregunta de Moshe, y que Moshe ya conoce perfectamente. Además, porque dice cosas que son falsas, como que las masas de los quarks deben ser más grandes que el espaciado reticular inverso. Voto en contra de muchas cosas; nadie debería tomarlo como algo personal, solo estoy tratando de contribuir para clasificar las buenas respuestas de las malas. No se implica ningún juicio de la persona que escribe las respuestas.
Creo que cualquier tipo de investigación sobre quién vota las respuestas y por qué es la antítesis de la forma en que entiendo que funcionan los sitios de Stackexchange, que es dejar que la comunidad vote y apelar a su juicio colectivo para encontrar buenas respuestas. (Si esta votación es realmente eficiente para encontrar buenas respuestas dependerá mucho de si la comunidad contiene suficientes personas competentes, pero en principio creo que es una buena idea).
Esta es claramente una discusión para meta, pero en mi opinión, votar negativamente es parte de lo que puedo hacer para aclarar las cosas para otros usuarios, y me alegro de poder hacerlo sin que sea demasiado doloroso o consuma mucho tiempo. Además, tratar de resolver cada pequeño desacuerdo no es una buena manera de vivir en paz o divertirse. Esto se aplica a esta respuesta y también a la meta discusión.
@ Matt gracias por la aclaración. La única razón por la que pedí una es por los muchos votos negativos consecutivos que han recibido las respuestas de @Lawrence, a pesar de que, en algunos casos, son de mayor calidad que otras respuestas a la misma pregunta. También sería genial si pudiera aclararme por qué la declaración sobre las masas de los quarks y el espaciado de red inversa es incorrecta. Eso no es algo obvio para mí. O tal vez esto solo demuestra mi ignorancia sobre el tema.

A menos que alguien pueda mostrar cómo crear fermiones quirales y evitar el problema de la duplicación de fermiones en una red, está claro que las regularizaciones de red no pueden cubrir todo. Esa persona tendría que pasar por alto el teorema de Nielsen-Ninomiya.

Sin embargo, tal vez, lo que estoy preguntando es independiente: ¿es la red una definición algorítmica de la teoría YM pura?
-1: Interpretación incorrecta de un teorema.
@RonMaimon, ¿cómo lo interpretarías? el teorema de Nielsen-Ninomiya implica que para simular fenómenos del modelo estándar en la red, al menos una de sus suposiciones debe relajarse, o habría una duplicación de fermiones en la red.

Según tengo entendido, una formulación reticular permite emplear "naturalmente" el famoso razonamiento de Wilson sobre escalas y teorías "efectivas". De hecho, no hay nada físico en esta "definición" de QFT, ya que el paso de red es arbitrario, a diferencia del enfoque de Wilson para los fenómenos críticos. Yo lo llamaría una "niebla" para ocultar problemas físicos reales.

¿La teoría cuántica de campos se define por su regularización reticular?
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