¿Funciona la rotación de Wick para la gravedad cuántica?

Buena respuesta de Lubos, como siempre. Mi opinión es ligeramente diferente, quizás menos optimista:

Para la teoría de campos cuánticos ordinaria en el espacio-tiempo plano, la rotación de Wick es una excelente herramienta de cálculo para muchas cosas que podrían interesarle: funciones de correlación de vacío de productos ordenados en el tiempo de operadores locales o cantidades estáticas en equilibrio térmico. Uno hace la rotación de Wick, y luego puedes pensar en la integral de trayectoria literalmente como una integral, aunque de dimensión infinita.

Pero, incluso en este contexto más simple, intente calcular cantidades más complicadas y encontrará que la receta euclidiana no existe o no es tan útil. Algunos ejemplos son: cantidades dependientes del tiempo en equilibrio térmico, observables en situaciones de no equilibrio, funciones de correlación retrasadas o avanzadas, etc., etc. Para muchos de estos cálculos existe la prescripción de complejizar el tiempo y especificar un contorno apropiado en tiempo complejo (o frecuencia ) plano. Este es un negocio sutil, e incluso cuando esto funciona, claramente no es solo una "rotación" al tiempo euclidiano.

Me parece que el argumento más fuerte para pensar que la formulación euclidiana es más fundamental, aunque no cubre todas las situaciones posibles que nos presenta la física lorentziana, es el deseo de entender la integral de trayectoria literalmente como una integral, o al menos como un continuación analítica de algo que se puede definir como una integral convergente.

Quizás esto esté algo bien motivado en QFT, pero probablemente no sea el caso en la gravedad cuántica, lejos del límite semiclásico. No tiene sentido que integres sobre métricas para definir la gravedad cuántica. La acción de Einstein-Hilbert no se puede volver a normalizar, por lo que no puede pensar en la integral de ruta sobre las métricas como si le brindara información más allá de la aproximación semiclásica líder (punto de silla). Creo que por estas y muchas razones más elaboradas, muchas personas que conozco sospechan de cualquier afirmación que se haga utilizando la gravedad cuántica euclidiana más allá de ese orden principal.

En cuanto a la pregunta específica sobre el factor conforme: tiene el signo incorrecto, por lo que la integral de trayectoria euclidiana no converge y debe definirla mediante una continuación analítica adicional del factor conforme. Como siempre ocurre con la continuación analítica, esto puede tener algunas sutilezas, y cuando se nos presentan opciones de prescripción, somos menos capaces de guiarnos por la física para comprender el significado de las diversas posibilidades.

La rotación de Wick es seguramente un método natural para aplicar incluso en el caso gravitacional. Y por cierto, es muy probable que el cálculo euclidiano siempre sea más fundamental y correcto que el de Minkowski.

Como dices correctamente, la acción de Einstein-Hilbert no está limitada por abajo (y por arriba) en el espacio euclidiano. Pero, por supuesto, no tiene límites en el espacio-tiempo de Minkowski. Entonces, al cambiar al espacio-tiempo euclidiano, seguramente no empeorará las cosas.

Aún más importante, la falta de límites no es un signo de un problema con un método en particular: es una percepción física real. La acción puede volverse negativa debido al "modo conforme" del tensor métrico. Si visualiza el tensor métrico como una colección de escalares, el "modo conforme", uno vinculado al determinante de la métrica, es el único campo escalar con el signo incorrecto del término cinético.

Podría decirse que esta diferencia de signo tiene consecuencias cosmológicas. También es la razón por la que los espacios de módulos de las teorías gravitacionales están cubiertos por parches "bien entendidos" en 2+1 dimensiones o más, pero producen regiones nuevas y desconocidas en 1+1 dimensiones o menos:

http://arxiv.org/abs/hep-th/9811194

Podría decirse que la representación euclidiana del espacio-tiempo es aún más importante en la gravedad cuántica que en las teorías cuánticas de campos no gravitacionales. En particular, la continuación euclidiana de las soluciones de los agujeros negros hace transparente el valor correcto de la temperatura: la temperatura es tal que la periodicidad asintótica de la solución en el infinito es$\beta$(en el espacio-tiempo euclidiano), el interior del agujero negro está totalmente eliminado de la solución, y el horizonte de eventos es un lugar suave de la solución sin ningún ángulo de déficit (o exceso).

Debido a que la relatividad general permite muchas topologías y muchas formas de elegir la coordenada temporal global o localmente, permite muchas formas de rotar el espacio-tiempo. Esta diversidad recientemente comenzó a ser utilizada por valientes físicos. Me refiero, por ejemplo, a este artículo de Ashoke Sen:

http://arxiv.org/abs/1101.4254

Para estar seguros, la función de onda de Hartle-Hawking es otro paradigma clave en la relatividad general cuantizada euclidiana. Postula que las condiciones iniciales cerca del Big Bang son tales que el espacio-tiempo euclidiano es suave alrededor del origen.

Soy un firme creyente de la noción de rotación de la mecha. Como bien señaló Lubos, la indicación más clara de la rotación de la mecha proviene de la cosmología cuántica. De hecho, muchos nuevos resultados recientes en diferentes modelos de gravedad cuántica, como la gravedad cuántica de bucles$^1$(LQG), triangulación dinámica causal$^2$(CDT), geometría no conmutativa$^3$, Horava-Lifshitz Gravedad$^4$, conjuntos causales$^5$, y eventualmente en la teoría M de supercuerdas$^6$, indican fuertemente que en las curvaturas muy altas cerca o en la escala de Planck (sistema gravitacional cuántico totalmente no perturbativo) la firma del espacio-tiempo ya no es lorentziana y se convierte en una versión cuántica del espacio euclidiano 4-D que es atemporal, acausal y desprovisto de toda dinámica o evolución, describiendo elegantemente la llamada Propuesta No-Bondary de Hartle-Hawking.

Salud

$^1$Ver M.Bojowald, J.Mielczarek, A.Barrau, J.Grain, G.Calcagni

$^2$Ver Ambjorn, Coumbe, Gizbert-Studnicki y Jurkieiwcz

$^3$Ver a Lizzi, Kurkiv, D'Andrea y otros

$^4$Vea Horava, Melby-Thomson y Kevin Crosvenor, así como la conferencia de K. Crosvenor en la conferencia GR21 2016

$^5$Véase L. Glaser y S. Surya, así como Glaser, DO'Connor y Surya; próximo

$^6$Véase C.Hull, Edward Witten, Robbert Dijkgraaf, Ben Heidenreich, Patrick Jefferson y Cumrun Vafa 2016

La rotación de la mecha podría funcionar para fondos con una isometría del vector Killing asintóticamente temporal, como métricas asintóticamente planas y anti de Sitter asintóticamente. También podría funcionar cuando hay un vector Killing asintótico que es temporal o nulo en algún horizonte con lo que se encuentra más allá truncado. Algunos ejemplos son los agujeros negros estacionarios y el espacio de De Sitter. Por otro lado, la rotación de Wick no se puede aplicar a fondos como Friedmann-Robertson-walker. Si alguien no está de acuerdo conmigo, no dude en señalar por qué.