¿Es la representación adjunta de SU(2)SU(2)SU(2) la misma que la representación del triplete?

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Eweler

es la representación triplete de $SU(2)$ lo mismo que su representación adjunta? Donde la convención para la representación adjunta utilizada es la utilizada en física de partículas, donde las constantes de estructura son reales y antisimétricas:

a d (t_{GRAMO}^{b})_{a C} = i F^{a b C}

$\mathrm{ad}(t^b_G)_{ac} = i f^{abc}$

Tenía la impresión de que era, pero veo dos formas diferentes de los generadores en las representaciones de triplete utilizadas, una de las cuales es solo los generadores simétricos sesgados reales del $SO(3)$ grupo de rotación, que concuerda con la representación adjunta, siendo el otro:

T^{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) T^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}) T^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$T^1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \quad T^2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0\end{matrix}\right) \quad T^3= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$

Estas dos representaciones no concuerdan, supongo que mi idea sobre la representación adjunta de $SU(2)$ siendo su representación triplete está mal, pero ¿por qué?

Cosmas Zachos

Respuestas (3)

Cosmas Zachos

Los generadores hermíticos

T^{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) T^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}) T^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$T^1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \quad T^2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0\end{matrix}\right) \quad T^3= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{matrix}\right)$ puede transformarse unitariamente a los generadores hermitianos

U T^{j} U^{†} = L^{j}

$UT^jU^\dagger=L^{~j}$ , satisfaciendo la mismísima álgebra de Lie, por la transformación de equivalencia

tu = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - i & 0 & - i \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{matrix}),

$U= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ -i & 0 & -i \\ 0 & \sqrt{2} & 0\end{matrix}\right) ~,$ de modo que

L_{1} = i (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), L_{2} = i (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}), L_{3} = i (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$L_{1} = i\left(\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{matrix}\right) , \quad L_{2} = i\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{matrix}\right) , \quad L_{3} = i\left(\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right),$ es decir, i veces la base antisimétrica real del momento angular clásico.

Observe cómo U envía los vectores propios evidentes de $T_3$ a los vectores propios de $L_3$ ; así es, de hecho, cómo se construyó. La forma diagonal simple de $T_3$ es una característica definitoria de esta base esférica .

charlie

¿Cómo encontraste eso?

U

$U$ ¿matriz?

Cosmas Zachos

@Charlie Modifiqué el último párrafo para reflejar el método.

Valter Moretti

Es solo cuestión de un factor perdido $i\sqrt{2}$ debido a diferentes convenciones. Las matrices antihermitianas $i\sqrt{2} T^k$ se puede transformar en las matrices antisimétricas reales $L_k$ (que por lo tanto también son antihermitianos complejos) mediante una matriz unitaria adecuada $U$ ,

L_{k} = tu i \sqrt{2} T^{k} {tu}^{†} k = 1, 2, 3 .

$L_k = U i\sqrt{2}\:T^kU^\dagger\quad k=1,2,3\:.$ Esto se debe a que ambas ternas de matrices son representaciones irreducibles del álgebra de Lie de

S U (2)

$SU (2)$ con el mismo valor del operador Casimir

\sum_{k} (\sqrt{2} T^{k})^{2} = - \sum_{k} (L_{k})^{2} = 2 I

$\sum_k (\sqrt{2} T^k)^2 = -\sum_k (L_k)^2 =2I$ (de modo que

2 = j (j + 1)

$2= j(j+1)$ con

j = 1

$j=1$ que es el giro de la representación). Como es sabido, hasta equivalencias unitarias sólo existe una representación unitaria irreductible de

S U (2)

$SU (2)$ para cada valor del espín, esencialmente debido al teorema de Peter-Weyl.

Eweler

Ah, entonces la diferencia en la convención proviene de la presencia/ausencia de un factor de

i

$i$ en la exponenciación del álgebra de Lie?

Valter Moretti

Sí, hablando con propiedad, las representaciones de álgebras de Lie deberían estar hechas de operadores antiautoadjuntos. Los físicos están interesados en los observables y, por lo tanto, usan operadores autoadjuntos en su lugar... la diferencia es un factor

i

$i$ .

Abdelmalek Abdesselam

Dejar $V=\mathbb{C}^2$ . Entonces las irreps están dadas por las potencias simétricas $V_k:={\rm Sym}^k(V)$ con $k=0,1,\ldots$ . el irrep $V_k$ tiene dimensión $k+1$ . Supongo que triplete significa dimensión tres. Así es $V_2$ que vive dentro $V\otimes V$ de la misma manera el representante adjunto vive dentro $V\otimes V^{\ast}$ (matrices de 2 por 2) donde $V^{\ast}$ denota el dual. Ahora un hecho muy especial sobre $SU(2)$ es eso $V$ y $V^{\ast}$ , como representaciones, son lo mismo. Es por eso que adjunto y triplete son lo mismo.

¿Es la representación adjunta de SU(2)SU(2)SU(2) la misma que la representación del triplete?

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