Resolviendo el álgebra de Lie de generadores: camino del álgebra a la representación matricial

De manera más general, dada la representación adjunta

$${\rm ad}(x)y ~:=~ [x,y], \qquad x,y~\in~L, \tag{1}$$

de un$n$álgebra de mentira dimensional $L$sobre un campo $\mathbb{F}$, a base de generadores

$$(t_1, \ldots, t_n ),\tag{2}$$

satisfactorio

$$[t_i,t_j]~=~\sum_{k=1}^n t_k~f^k{}_{ij} ,\qquad i,j~\in~\{1,\ldots, n\},\tag{3}$$

dónde

$$f^k{}_{ij}~\in~ \mathbb{F},\qquad i,j,k~\in~\{1,\ldots, n\},\tag{4}$$

son constantes de estructura , entonces$n\times n$representación matricial de la representación adjunta

$${\rm ad}: L ~~\to~~ {\rm End}(L)\tag{5}$$

viene dada por las constantes de estructura

$${\rm ad}(t_i)^k{}_j~=~f^k{}_{ij},\qquad i,j,k~\in~\{1,\ldots, n\}.\tag{6}$$

Prueba de la ec. (6): Si un elemento de álgebra de Lie

$$x~=~\sum_{j=1}^n t_j~x^j~\in ~L \tag{7}$$

tiene componentes

$$x^j~\in~\mathbb{F}, \qquad j~\in~\{1,\ldots, n\},\tag{8}$$

entonces para fijo$i \in~\{1,\ldots, n\}$, el endomorfismo

$${\rm ad}(t_i)~\in~{\rm End}(L),\tag{9}$$ que toma elementos de álgebra de Lie en elementos de álgebra de Lie $$x ~~\mapsto ~~\sum_{j=1}^n ~t_k~x^{\prime k} ~=~x^{\prime}~:=~{\rm ad}(t_i)x ~\stackrel{(1)}{=}~[t_i,x] ~\stackrel{(7)}{=}~\sum_{j=1}^n [t_i,t_j]~x^j ~\stackrel{(3)}{=}~\sum_{j,k=1}^n t_k~ f^k{}_{ij}~x^j, \tag{10}$$ está representado por la matriz $$\left({\rm ad}(t_i)^k{}_j\right)_{1\leq j,k\leq n},\tag{11}$$ tal que los componentes se transforman como $$x^{\prime k}~=~\sum_{j=1}^n {\rm ad}(t_i)^k{}_j~x^j , \qquad k~\in~\{1,\ldots, n\}.\tag{12}$$ Finalmente combine las ecs. (10) y (12) para derivar la ec. (6). $\Box$

Si tiene las constantes de estructura, es decir, los coeficientes$f_{ab}^c$en las relaciones de conmutación$[T_a,T_b]=\sum_c f_{ab}^cT_c$con$a,b,c\in \{1,\ldots p\}$entonces puedes construir$p$matrices$M_a$(etiquetado por$a$) de tamaño$p\times p$con entradas$(M_a)_{cb}$. Estas matrices serán un$p\times p$representación del álgebra (de hecho, la representación adjunta).

Esto funcionará para cada álgebra. Sin embargo, en el caso de álgebras no compactas, la representación resultante es obviamente de dimensión finita y, por lo tanto, no puede hacerse hermítica (es decir, no puede exponenciar a una representación unitaria de dimensión finita del grupo).

Tenga en cuenta que en el caso de$so(3,1)$, hay un punto sutil que surge al volver del complejo a la forma real. Encima$\mathbb{C}$, el adjunto de$so(3,1)$es reducible a$su(2)\oplus su(2)$pero sobre los reales el adjunto es irreductible. En otras palabras, para formas reales no compactas, hay problemas con la reducibilidad y la unidad.

Obtuvo respuestas sobresalientes, pero son inusualmente abstractas para los físicos; asumen que sus estudiantes se sienten cómodos con la teoría básica del álgebra de Lie, tal como se les enseña a los matemáticos, por ejemplo, en la primera semana de dichos cursos. Desafortunadamente, los físicos, que están especialmente acostumbrados a que se les enseñe con el ejemplo, por regla general, no lo obtienen en su primera semana de cursos de recuperación de teoría de grupos.

Así que aquí hay un ejemplo casi trivial de "tachuelas de bronce" de un álgebra de Lie de dimensión 3, aunque no familiar para la mayoría de los físicos, el álgebra de "suposición afortunada" de Winternitz , (elegida para anticiparse a "mono-ver-mono-hacer", como virtualmente ritual en , por ejemplo, rotaciones):

$$[ X,Y]=Y, \qquad [ X,Z]=Z+Y, \qquad[Y,Z]=0. \qquad$$ Su representación adjunta es el mapa lineal de los 3 vectores de generadores. $$xX+yY+zZ= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},$$ a otro 3-vector en ese espacio, entonces, efectivamente, una colección de matrices de 3×3.

por la definición$\operatorname{ad}(J) ~K\equiv [J,K]$, simplemente calculas la acción$\operatorname{ad}(X) Y= Y$,$\operatorname{ad}(X) Z=Z+ Y$, y nulo actuando sobre X , naturalmente. Entonces solo está representado por la matriz.

$$X_a= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Asimismo,$\operatorname{ad}(Y) X= -Y$, y acción nula sobre el resto, por lo que $$Y_a= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$$ y también$\operatorname{ad}(Z) X= -Z-Y$, nulo en los demás, por lo que $$Z_a = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Por la astuta definición de la acción adjunta, la identidad de Jacobi, se garantiza que estas tres matrices satisfacen el álgebra de Lie postulada.

El álgebra tiene la particularidad de no haber sido identificado en la física, todavía.