¿Por qué usar dos índices de espacio-tiempo para etiquetar los generadores de Lorentz?

Question

¿Por qué usar dos índices de espacio-tiempo para etiquetar los generadores de Lorentz?

Física
convenciones
mentira-álgebra
relatividad especial
teoría de la representación

B.Bergtun

He visto (por ejemplo, en Srednicki) la siguiente notación para la conexión entre una transformación de Lorentz $\Lambda$ y los generadores de Lorentz $M^{\mu\nu}$ :

\begin{matrix} (1) & {Λ^{m}}_{v} = {(Exp (\frac{i}{2} ω_{α β} {METRO}^{α β}))}^{m}_{v}, \end{matrix}

$\begin{equation} {\Lambda^\mu}_\nu = {\left( \exp \left( \frac{\text{i}}{2} \, \omega_{\alpha\beta} M^{\alpha\beta} \right)\right)^\mu}_\nu , \tag{1} \label{1} \end{equation}$ donde, según tengo entendido, los parámetros

ω_{α β}

$\omega_{\alpha\beta}$ son antisimétricos en

α, β

$\alpha, \beta$ ; mientras que los generadores

(M^{α β})^{μ ν}

$(M^{\alpha\beta})^{\mu\nu}$ (nótese el relieve

ν

$\nu$ !) son antisimétricos en ambos

α, β

$\alpha, \beta$ y

μ, ν

$\mu, \nu$ . Obviamente, para cualquier

α, β

$\alpha, \beta$ , las matrices

Λ

$\Lambda$ y

M^{α β}

$M^{\alpha\beta}$ pertenecen al mismo espacio vectorial (para hacer mi pregunta más clara, aquí he considerado la representación ordinaria del espacio-tiempo del grupo de Lorentz).

La antisimetría en $\alpha, \beta$ da por ejemplo $\omega_{10} M^{10} = - \omega_{01} M^{10} = \omega_{01} M^{01}$ , por lo que

\begin{matrix} (2) & ω_{α β} {METRO}^{α β} = 2 \sum_{α < β} ω_{α β} {METRO}^{α β}, \end{matrix}

$\begin{equation} \omega_{\alpha\beta} M^{\alpha\beta} = 2 \sum_{\alpha<\beta} \, \omega_{\alpha\beta} M^{\alpha\beta} , \tag{2} \label{2} \end{equation}$ por lo que es fácil ver dónde está el factor

1 / 2

$1/2$ en la ec.

(1)

$\eqref{1}$ viene de. Sin embargo, lo que no me queda claro es lo siguiente:

¿Por qué el factor imaginario? Evidentemente no hace daño, ya que puede tenerse en cuenta a la hora de definir el $\omega$ -s, pero ¿por qué incluirlo en primer lugar?
¿Por qué usar dos cuatro índices (!) en el producto entre parámetros y generadores? Seguramente una expresión como
$\begin{matrix} (3) & {Λ^{m}}_{v} = {(Exp ω^{i} {METRO}_{i})}^{m}_{v} \end{matrix}$ $\begin{equation} {\Lambda^\mu}_\nu = {\left(\exp \omega^i M_i \right)^\mu}_\nu \tag{3} \label{3} \end{equation}$ sería mucho menos probable que causara confusión, especialmente cuando la antisimetría de los generadores (al menos por algunos autores) se deriva de considerar transformaciones infinitesimales de Lorentz en la forma ${\Lambda^\mu}_\nu = \delta^\mu_\nu + {\omega^\mu}_\nu$ (cf esta pregunta y el mencionado Srednicki)?

La pregunta número 2 es la que más me desconcierta, ya que supongo que no. 1 está vinculado a la unitaridad.

jahan claes

¿Quieres decir "para cualquier

α, β

$\alpha,\beta$ "?

jahan claes

También la gente traduce con frecuencia entre

ω_{α β}

$\omega_{\alpha\beta}$ y

J_{i}

$J_i$ ,

K_{i}

$K_i$ (consulte el artículo de Wikipedia sobre las transformaciones de Lorentz como ejemplo), por lo que las personas usan objetos de un índice y es principalmente una cuestión de qué notación prefiere. Pero es similar al caso del momento angular en la mecánica clásica; El momento angular es naturalmente un tensor de dos índices antisimétrico, pero a menudo lo contraemos con

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{ijk}$ para convertirlo en un pseudovector por conveniencia.

B.Bergtun

@JahanClaes: ¡Sí, buena captura! He editado la pregunta en consecuencia. En cuanto a su segundo comentario: ¿Quiere decir que la gente traduce entre

M^{α β}

$M^{\alpha\beta}$ y

J_{i}

$J_i$ ,

K_{i}

$K_i$ ? Si es así, entonces sí, soy consciente, y mi pregunta es por qué es "natural" considerar

M^{α β}

$M^{\alpha\beta}$ como un tensor antisimétrico de cuatro índices. Si no, entonces estoy aún más confundido ...

jahan claes

Sí, disculpas, ¡eso es lo que quise decir!

Respuestas (2)

¿Por qué usar dos índices de espacio-tiempo para etiquetar los generadores de Lorentz?

También la gente traduce con frecuencia entre $\omega_{\alpha\beta}$ y $J_i$ , $K_i$ (consulte el artículo de Wikipedia sobre las transformaciones de Lorentz como ejemplo), por lo que las personas usan objetos de un índice y es principalmente una cuestión de qué notación prefiere. Pero es similar al caso del momento angular en la mecánica clásica; El momento angular es naturalmente un tensor de dos índices antisimétrico, pero a menudo lo contraemos con $\epsilon_{ijk}$ para convertirlo en un pseudovector por conveniencia.
@JahanClaes: ¡Sí, buena captura! He editado la pregunta en consecuencia. En cuanto a su segundo comentario: ¿Quiere decir que la gente traduce entre $M^{\alpha\beta}$ y $J_i$ , $K_i$ ? Si es así, entonces sí, soy consciente, y mi pregunta es por qué es "natural" considerar $M^{\alpha\beta}$ como un tensor antisimétrico de cuatro índices. Si no, entonces estoy aún más confundido ...

qmecanico · Answer 1

De manera más general, sea dado un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ y equipado con un (no necesariamente definido positivo) no degenerado $\mathbb{F}$ - forma bilineal $\eta:V\times V\to \mathbb{F}$ . El álgebra de la mentira
$s o (V) = {Λ \in mi norte d (V) ∣ \forall v, w \in V : η (Λ v, w) = - η (v, Λ w)} ≅ ⋀^{2} V$ $so(V)~=~\left\{\Lambda\in{\rm End}(V)\mid \forall v,w\in V:~\eta(\Lambda v,w)=-\eta(v,\Lambda w) \right\} ~\cong~ \bigwedge\!{}^2V$ de transformaciones pseudoortogonales es isomorfa al producto tensorial exterior $\bigwedge^2V \equiv V\wedge V$ .

La prueba se sigue esencialmente del hecho de que ${\rm End}(V)\cong V\otimes V^{\ast}$ y uso del isomorfismo musical . $\Box$

Por lo tanto podemos etiquetar los generadores $M^{\mu\nu}$ con dos índices vectoriales antisimétricos.

en particular si $V$ es $(n\!+\!1)$ -espacio- tiempo de Minkowski dimensional , entonces $M^{\mu\nu}$ consiste en $n(n\!-\!1)/2$ generadores de momento angular y $n$ generadores de impulso.

Consulte también esta y esta publicación relacionada con Phys.SE.
En cuanto a los factores de la unidad imaginaria $i$ , vea la nota al pie 1 en mi respuesta Phys.SE aquí .

¿Podría ampliar esta respuesta? no se la notacion $\wedge^2 V$ , ni lo entiendo por contexto.
Eliminé mi segundo comentario, ya que creo que entendí por qué los índices vectoriales apropiados son índices de espacio-tiempo: simplemente porque el espacio vectorial en consideración es el espacio-tiempo de Minkowski. Sin embargo, no veo ninguna buena razón por la que su resultado general deba ser cierto (posiblemente relacionado: apenas puedo analizarlo, aunque las últimas ediciones ayudan), excepto por la respuesta lógicamente insatisfactoria "bueno, funciona cuando V es Espacio-tiempo de Minkowski, desde entonces $M^{\mu\nu}$ debe consistir en generadores de impulso y momento angular" ... ¿Existe una explicación "intuitiva" de este resultado?
Cont .: Y para ser claros, esto no pretende ser una crítica negativa de su respuesta, ¡simplemente una aclaración de mi comprensión actualmente limitada!
Aclaración adicional: al pedir una explicación "intuitiva", simplemente pretendía pedir algunas pistas sobre el origen del resultado, es decir, "¿Qué causa que esto sea así?".

d_b · Answer 2

Esto solo está desarrollando el primer punto en la respuesta de Qmechanic, pero es demasiado largo para un comentario. Específicamente, quiero dar un ejemplo del isomorfismo $\mathfrak{so}(V) \simeq V \wedge V$ . Dado que esto es válido ya sea que consideremos una firma definida o indefinida e independientemente de la dimensión, haré el ejemplo simple de $\mathfrak{so}(2)$ actuando $\mathbf{R}^2$ . Disculpas a los matemáticos por destrozar las buenas matemáticas.

Podemos representar un elemento $M\in \mathfrak{so}(2)$ como un $2\times2$ matriz sesgada simétrica

(\begin{matrix} 0 & - θ \\ θ & 0 \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix}0&-\theta\\\theta&0\end{pmatrix}.$ Su acción sobre un vector

x \in R^{2}

$\mathbf{x}\in \mathbf{R}^2$ es

\begin{aligned} METRO X & = (\begin{matrix} 0 & - θ \\ θ & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}) \\ = θ (\begin{matrix} - X_{2} \\ X_{1} \end{matrix}) . \end{aligned}

$\begin{align}M \mathbf{x}&= \begin{pmatrix}0&-\theta\\\theta&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\\ &=\theta\begin{pmatrix}-x_2\\x_1\end{pmatrix}.\end{align}$

Ahora deja que la acción siga $\mathbf{R}^2$ del producto exterior $\mathbf{v} \wedge \mathbf{w} \in \mathbf{R}^2\wedge \mathbf{R}^2$ ser

(v \land w) * X = ⟨ v, X ⟩ w - ⟨ w, X ⟩ v .

$(\mathbf{v} \wedge \mathbf{w})\ast\mathbf{x}=\left<\mathbf{v},\mathbf{x}\right>\mathbf{w} - \left<\mathbf{w},\mathbf{x}\right>\mathbf{v}.$ Esto da

\begin{aligned} (v \land w) * X = (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) (\begin{matrix} - X_{2} \\ X_{1} \end{matrix}), \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{w})\ast\mathbf{x} = (v_1 w_2 - v_2 w_1)\begin{pmatrix}-x_2\\x_1\end{pmatrix}, \end{align}$ que es lo mismo que el anterior con

θ = v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}

$\theta = v_1 w_2 - v_2 w_1$ . En otras palabras, podemos identificar

M \in s o (2)

$M\in \mathfrak{so}(2)$ con el bilineal antisimétrico de dos índices

(v \land w)_{i j}

$(\mathbf{v} \wedge \mathbf{w})_{ij}$ , y así escribir

M_{i j}

$M_{ij}$ .

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