La representación conjugada en su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)

Lo que no entiendo es por qué no podemos simplemente tomar el complejo conjugado de ambos lados.

Mire el álgebra de Lie que todas las representaciones deben satisfacer,

$$[T_j,T_k]=i\epsilon_{jkm}T_m .$$ Los generadores son todos hermitianos y las constantes de estructura son reales, por lo que esta álgebra es invariante bajo la conjugación hermitiana. También es invariante bajo transformaciones de semejanza. $T_j\mapsto S^{-1}T_jS$, que proporcionan útiles cambios de base.

Ahora omite la transposición y simplemente conjuga el complejo en su lugar,

$$[T^*_j,T^*_k]=-i\epsilon_{jkm}T^*_m .$$
¿Tienes una representación del álgebra? En realidad no, ya que la diferencia del signo de la rhs estropea el caldo: no es exactamente el mismo álgebra.

Pero espera,$-T^*_j$ proporcionar una representación del álgebra. Además, por suerte,$-T^*_j=S^{-1}T_j S$, ¡así que esto resulta ser solo el representante original en una base diferente! Los vectores propios se han movido y mutado, por lo que los mismos valores propios simplemente se intercambian. Asumo que has aprendido a encontrar S para la repetición fundamental, ya que ya la usaste para invertir tu doblete ψ y deslizar un signo preferencial: esto es lo que$\sigma_2$lo hace.

Ahora considere los valores propios. Los valores propios de$T_3$siempre están emparejados,$\pm$, para todas las representaciones (todos los giros); y, además, todos los generadores pueden rotar de manera similar para$T_3$. Entonces S siempre existe, y simplemente codifica los valores propios: todas las repeticiones son reales.

• Un pequeño punto de notación: es posible que se alarme de que un$-a^* \sim a$situación se llamaría "real", cuando es puramente imaginaria. Pero lo imaginario puro es sólo i veces real. Esto no es más que un artefacto de la elección de "física" de la convención de álgebra de Lie, con una i delante de la constante de estructura real en una realización con generadores hermitianos, no reales. (La representación adjunta consiste en i multiplicar constantes de estructura real, por lo que$S=1\!\!1$. En la "base cartesiana" de mecánica clásica de pregrado, uno normaliza el i para obtener generadores antisimétricos reales). Por lo tanto, un mísero signo menos realmente no importa.

Ésto es una cosa buena". Si observara el anticonmutador de dos generadores como arriba y el complejo conjugado nuevamente, si hubiera un llamado coeficiente d que no se desvaneciera en el lado derecho más allá de la identidad, la hermiticidad requeriría que faltara la i , y así$-T^*_j$no satisfaría la misma relación de anticonmutación... no habría tal S preservándola.

Entonces, para estas representaciones reales, d desaparece (y los coeficientes de anomalía basados ​​en estos d s también desaparecen , para todas las representaciones de SU(2)).

Esto no sucede del todo con las SU(N) más grandes, ya que no todas sus representaciones son reales. (Puede ilustrar esto observando los valores propios de, por ejemplo, los generadores de repeticiones fundamentales de SU(3), las matrices de Gell-Mann. Sugerencia: son los valores propios de$\lambda_8$ $\pm$-¿emparejado como arriba?) Pero, como puede ver por inspección, la representación adjunta siempre es real ( i veces las constantes de estructura real; y puede saber cómo se emparejan sus valores propios).

• Un "aparte académico" : la regla de conjugación para el doblete que ilustraste,$(\psi_1, \psi_2)\mapsto (\psi_2^*, -\psi_1^*)$, es especialmente afortunado en el complejo doblete de Higgs del EW SM. Le permite escribirlo de forma compacta como $$\Bigl((v+h)1\!\!1 + i \vec{\pi}\cdot \vec{\tau}\Bigr)\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\end {array}\right) ~,$$ sobre el cual su conjugado es pero $$\Bigl((v+h)1\!\!1 + i \vec{\pi}\cdot \vec{\tau}\Bigr)\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end {array}\right) ~,$$ de utilidad sustancial para analizar las simetrías de custodia del SM.