Normalización de generadores de un álgebra de mentira

Question

Normalización de generadores de un álgebra de mentira

Física
convenciones
mentira-álgebra
teoría de grupos
teoría de la representación

José

Ok, entonces estoy preguntando esto en física porque actualmente estoy trabajando en parte del texto de Srednicki sobre QFT, aunque en realidad es una pregunta de matemáticas.

En el capítulo de Srednicki sobre la teoría de calibre no abeliana, presenta los generadores de un grupo de Lie. Por el momento solo estamos analizando $SU(N)$ , que se define por $M M^\dagger = 1$ y $\det(M) = 1$ para todos $M \in SU(N)$

Y las condiciones correspondientes en los generadores del grupo son $T = T^\dagger$ y ${\rm Tr}(T) = 0$ para todos $T \in \mathfrak{su}(N)$

Entonces lo que no entiendo es que Srednicki me diga que deberíamos normalizar nuestros generadores para que

T r (T^{i} T^{j}) = \frac{1}{2} d^{i j} .

${\rm Tr}(T^i T^j) = \frac{1}{2}\delta^{ij}.$

Así que presumiblemente esto surge porque nuestro conjunto de $N^2-1$ generadores es una base para el espacio tangente de $SU(N)$ en la identidad, y elegimos que sea ortogonal y luego necesitamos una condición para normalizar las longitudes de todos los vectores base? ¿Por qué la condición que dio Srednicki hizo eso? ¿Y dónde ingresamos que los vectores son ortogonales?

danu

El álgebra de la mentira

s u (N)

$\mathfrak{su}(N)$ es solo un espacio vectorial. Tiene una base, que podemos normalizar si queremos. Eso es todo lo que hay en esto, matemáticamente. En cuanto a la normalización particular que elige Srednicki: no estoy seguro de por qué alguien querría esto.

rexciro

Compruebe la forma de Matar del Álgebra de la Mentira. De todos modos, esa elección es la estándar en física.

Respuestas (2)

Normalización de generadores de un álgebra de mentira

El álgebra de la mentira $\mathfrak{su}(N)$ es solo un espacio vectorial. Tiene una base, que podemos normalizar si queremos. Eso es todo lo que hay en esto, matemáticamente. En cuanto a la normalización particular que elige Srednicki: no estoy seguro de por qué alguien querría esto.
Compruebe la forma de Matar del Álgebra de la Mentira. De todos modos, esa elección es la estándar en física.

Bosoneando · Answer 1

Solo una suposición... El propósito es reproducir las características agradables de $SU(2)$ . Con esa convención, los generadores de $SU(2)$ son, en términos de matrices de Pauli

T^{i} = \frac{1}{2} σ^{i}

$T^i = \frac{1}{2}\sigma^i$ Así que una transformación con parámetros

θ_{i}

$\theta_i$ es dado por

tu = Exp (- i \frac{1}{2} θ_{i} σ^{i})

$U=\exp\left(-i\frac{1}{2}\theta_i\sigma^i\right)$ Las cosas se ponen interesantes cuando te das cuenta de que los elementos de

S U (2)

$SU(2)$ están relacionados con las rotaciones habituales

S O (3)

$SO(3)$ (a saber,

S U (2)

$SU(2)$ es la doble portada de

S O (3)

$SO(3)$ ), y los parámetros

θ_{i}

$\theta_i$ son iguales a los ángulos de rotación alrededor de los ejes. Si hubiéramos elegido otra convención, aparecerían factores adicionales y los parámetros serían proporcionales (pero no iguales) a los ángulos. No es un gran problema, pero un poco más feo.

Una vez que haya elegido una convención para $SU(2)$ , parece natural generalizarlo a $SU(N)$ .

Anexo: Esta convención es bastante común, pero no universal. Por ejemplo, Elvang y Huang ( arxiv:1308.1697 ) eligen $\textrm{Tr}(T^a T^b) = \delta^{ab}$ con constantes de estructura $[T^a, T^b]=i \tilde{f}^{abc}T^c$ . Están relacionados con las constantes de estructura "habituales" por $\tilde{f}^{abc} = \sqrt{2}f^{abc}$ . De esta forma, se deshacen de algunos $\sqrt{2}$ factores

joshfísica · Answer 2

El álgebra de la mentira $\mathfrak{su}(N)$ , visto como un espacio vectorial de matrices, se puede equipar con el siguiente producto interno estándar:

\begin{aligned} ⟨ X, Y ⟩ = t r (X^{†} Y), \end{aligned}

$\begin{align} \langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(X^\dagger Y), \end{align}$ dónde

X^{†} Y

$X^\dagger Y$ es el producto matricial de

X^{†}

$X^\dagger$ y

Y

$Y$ , y

t r

$\mathrm{tr}$ es el rastro. Desde

X^{†} = X

$X^\dagger = X$ para todos

X \in s u (N)

$X\in\mathfrak{su}(N)$ , el lado derecho se reduce a

t r (X Y)

$\mathrm{tr}(XY)$ . Por lo tanto, la condición que escribe Srednicki expresa ortogonalidad con respecto a este producto interno estándar, y Srednicki elige normalizar los generadores para que tengan un cuadrado normal

1 / 2

$1/2$ .

Ok, eso es útil, gracias. Entonces, ¿este producto interno es el único estándar para $\mathfrak{su}(N)$ , o en general para cualquier álgebra de Lie? Porque si solo es estándar para $\mathfrak{su}(N)$ , ¿por qué se define con el conjugado hermitiano si vas a deshacerte de eso de todos modos? ¿Y por qué es natural definir esto como nuestro producto interno? También presumiblemente cuando dices que los vectores tienen norma $\frac{1}{2}$ , te refieres a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ?
@Joe La definición anterior da un producto interno en cualquier espacio vectorial real o complejo de matrices cuadradas. Es comúnmente llamado el producto interno de Frobenius o Hilbert-Schmidt. La naturalidad proviene de pensar en las matrices como vectores de columna reorganizados y luego aplicar el producto interno estándar en $\mathbb C^{n^2}$ . Consulte en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#Frobenius_product . Tenga en cuenta que escribí norma- cuadrado $1/2$ .
Oh, entonces lo hiciste, sí, eso tiene más sentido entonces. ok gracias lo leere

Normalización de generadores de un álgebra de mentira

José

danu

rexciro

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Bosoneando

robar

joshfísica

José

joshfísica

José

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