¿Cómo se define la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado forzado?

Considere un oscilador armónico amortiguado y forzado

(1) ϕ ¨ + 2 β ϕ ˙ + ω 0 2 ϕ = j ( t ) .

Si elijo una fuerza impulsora sinusoidal j ( t ) = A porque ⁡ ( Ω t ) , Encuentro

(2) ϕ ( t ) = Re [ mi − i Ω t − A Ω 2 − ω 0 2 + 2 i β Ω ] .

A partir de aquí, ¿cómo defino la "resonancia" ? ¿Es el punto donde ⟨ ϕ ( t ) 2 ⟩ se maximiza?

Cosas que sí sé: La frecuencia con la que ⟨ ϕ ( t ) 2 ⟩ se maximiza es

(3) ω r   :=   ω 0 1 − 2 ( β / ω 0 ) 2 ,
pero pensé que leí / escuché que la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado es solo ω 0 .

También calculé que la frecuencia de oscilación libre es

(4) ω libre   :=   ω 0 1 − ( β / ω 0 ) 2 ,
pero no creo que sea lo mismo que la frecuencia de resonancia bajo conducción constante.

Escuché los términos resonancia pura y resonancia práctica utilizados para describir ω 0 y la frecuencia máxima de la amplitud respectivamente. Un rápido Google sugiere que estos términos son ampliamente utilizados.
@JohnRennie ¡Interesante! "Ampliamente utilizado" es algo tan enigmático: nunca antes había escuchado "resonancia práctica" y la mayor parte de mi trabajo diario consiste en resonar cosas de una forma u otra. Es una lástima que no tengamos alguna forma de ejecutar un trabajo cron para asegurarnos de que el uso de la terminología de todos sea uniforme en algún tipo de base diaria.

Respuestas (2)

A partir de aquí, ¿cómo defino la "resonancia"?

En resonancia, el flujo de energía de la fuente impulsora es unidireccional, es decir, el sistema absorbe energía durante todo el ciclo.

Cuando Ω = ω 0 , tenemos

ϕ ( t ) = A 2 β ω 0 pecado ⁡ ω 0 t

de este modo

ϕ ˙ ( t ) = A 2 β porque ⁡ ω 0 t

El poder PAGS por unidad de masa entregada por la fuerza motriz es entonces

PAGS metro = j ( t ) ⋅ ϕ ˙ ( t ) = A 2 2 β porque 2 ⁡ ω 0 t = A 2 4 β [ 1 + porque ⁡ 2 ω 0 t ] ≥ 0

Cuando Ω ≠ ω 0 la potencia será negativa durante una parte del ciclo cuando el sistema trabaje en la fuente.

Lo que has etiquetado como ω r es la frecuencia de resonancia amortiguada o la frecuencia pico de resonancia .

Sin calificar, el término frecuencia de resonancia generalmente se refiere a ω 0 , la frecuencia de resonancia no amortiguada o la frecuencia natural no amortiguada .

Esto es bastante útil. En el caso del oscilador eléctrico, la condición de flujo de energía unidireccional es justa cuando la impedancia del resonador es puramente real. Gracias.

Puede surgir confusión porque el uso de la palabra resonancia a menudo difiere entre los sistemas mecánicos y los sistemas eléctricos.

Con los sistemas mecánicos, a menudo se considera la resonancia de desplazamiento y la frecuencia de la resonancia de desplazamiento disminuye a medida que aumenta la cantidad de amortiguamiento.
Esta es la dependencia de frecuencia establecida en su ecuación (3).

Cuando se trata de sistemas eléctricos, por ejemplo, un circuito LCR en serie, el parámetro que se suele medir es la corriente y la frecuencia a la que se produce la resonancia de la corriente es la frecuencia natural de las oscilaciones no amortiguadas del sistema. ω 0 y como tal, la frecuencia de resonancia de corriente no varía con el amortiguamiento.

Para un sistema mecánico, la resonancia de corriente es resonancia de velocidad y potencia, y para un sistema LCR de serie eléctrica, la resonancia de desplazamiento es resonancia de carga.

En los cursos de ciencias e ingeniería en los que primero se analizan las oscilaciones forzadas mecánicas y eléctricas, se prefiere la resonancia de desplazamiento para algunos sistemas mecánicos porque es más fácil medir una distancia que una velocidad y la resonancia de corriente se prefiere para algunos sistemas eléctricos porque es más fácil medir una corriente. que un cargo.

¿Los roles de corriente/carga/voltaje/etc. no cambian de lugar dependiendo de si el oscilador eléctrico es paralelo o en serie?
@DanielSank Sabía que el diablo está en los detalles. Todo lo que quería señalar es que la resonancia se define de diferentes maneras por diferentes profesores/conferencistas/tutores y esta es quizás la fuente de confusión. Cuando los sistemas bajo consideración son más realistas y se tratan con más detalle, el tipo preciso de resonancia se establece con mayor claridad. Debo confesar que no conozco una definición de resonancia aceptada por la mayoría de los físicos/matemáticos/ingenieros.
¿Cómo se define la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado forzado?
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