Ampliación del pico de resonancia debido a pérdidas: razón física

Para pensarlo en el dominio del tiempo, considere iniciar el sistema y verlo evolucionar:

Sin pérdidas: la respuesta es una frecuencia pura$A \cos {\omega t}$

Con pérdida, hay amortiguamiento exponencial$A e^{-t/\tau} \cos {\omega t}$. Tenga en cuenta que no se trata de una sola frecuencia: debido a la caída (variable) de un ciclo al siguiente, los primeros picos están un poco más juntos, efectivamente a una frecuencia más alta. La respuesta de frecuencia se amplía por el decaimiento.

Intentaría esto: no piense en ello como una resonancia más amplia, sino como un comportamiento menos pronunciado del sistema. Los osciladores con menos amortiguación solo tienen su resonancia ubicada con mayor precisión.

Estudia este diagrama en Wikipedia. Claramente, no es que las pérdidas puedan mejorar las cosas alrededor de la frecuencia de resonancia, simplemente lo empeoran aún más y, por lo tanto, se observa un crecimiento menos pronunciado alrededor de la frecuencia de resonancia.

Una posible explicación podría basarse en el hecho de que para baja pérdida, alta$Q$circuitos, la sensibilidad de la impedancia a la desviación de la frecuencia de la frecuencia resonante, es mayor que para alta pérdida, baja$Q$circuitos

Como resultado, los cambios relativos en los voltajes y corrientes en los circuitos de baja pérdida también son mayores y, correspondientemente, los picos de las curvas resonantes, asociadas con los circuitos de baja pérdida, son más agudos. O, podemos decir, que los picos, asociados con las curvas resonantes de los circuitos de alta pérdida, son más amplios.

Tomemos dos circuitos resonantes RLC, alto$Q$y bajo$Q$, con componentes reactivos idénticos,$L$y$C$, pero diferentes componentes resistivos: baja,$r$, por lo alto$Q$circuito y alta,$R$, por lo bajo$Q$circuito.

A una frecuencia resonante, las impedancias de ambos circuitos resonantes, altas$Q$y bajo$Q$, son puramente resistivos.

Cuando la frecuencia se desvía de la frecuencia resonante, se suma a las impedancias de ambos circuitos la misma componente reactiva, capacitiva o inductiva (dependiendo de la dirección del cambio de frecuencia), pero, debido a una menor resistencia en la alta$Q$circuito, este componente reactivo se volvería más dominante en el alto$Q$circuito que en el bajo$Q$circuito, lo que lleva a un cambio más dramático en la impedancia de la alta$Q$circuito (incluyendo tanto la magnitud como la fase).

Digamos que ambos circuitos son impulsados ​​por la misma fuente de voltaje de CA$V$.

A la frecuencia de resonancia,$f_0$, las impedancias de los dos circuitos estarán definidas por sus resistencias,$Z_1=r$y$Z_2=R$. En consecuencia, las corrientes en los dos circuitos serán$I_1=V/r$y$I_2=V/R$.

Si la frecuencia aumenta en$\Delta f$, la impedancia de los inductores excederá la impedancia de los capacitores en ambos circuitos, digamos, por$X$. Las magnitudes de las nuevas impedancias para las altas$Q$y bajo$Q$los circuitos se convertirán$Z_1'=\sqrt {r^2+X^2}$y$Z_2'=\sqrt {R^2+X^2}$, respectivamente.

Un aumento relativo en la magnitud de una impedancia no resonante sobre una impedancia resonante será mayor para la alta$Q$circuito que para el bajo$Q$circuitos:

En consecuencia, una disminución relativa de una corriente no resonante sobre una corriente resonante será mayor para la alta$Q$circuito, lo que conduce a una curva resonante más pronunciada.

El mismo efecto podría demostrarse para circuitos RLC paralelos, excepto que en ese caso una mayor resistencia da mayor$Q$.

Si tomamos un oscilador de tubo de órgano como ejemplo, la razón se vuelve clara, como sigue.

Primero imaginamos la tubería oscilando sin pérdidas. Tiene ondas estacionarias en su interior con una velocidad cero exactamente en el extremo cerrado y una presión cero exactamente en el extremo abierto, por lo que su longitud de onda de resonancia está exactamente relacionada con la longitud de la tubería.

Ahora introducimos pérdidas en el sistema. Aquí usaremos la resistencia a la radiación, es decir, las pérdidas de energía debidas a la radiación de las ondas sonoras por el extremo abierto de la tubería y hacia el aire que la rodea. El oscilador ahora está amortiguado.

Para que la onda de sonido que reside dentro de la tubería pierda energía por el extremo abierto de la tubería, se requiere que el extremo abierto de la tubería no tenga una presión cero, de lo contrario, las ondas de presión no saldrían de él. esto significa que la onda de sonido sobresaldrá ligeramente por el extremo abierto de la tubería en el proceso de "comunicación" con el aire circundante.

Esto significa que la longitud resonante de la masa de aire dentro de la tubería ahora incluye una porción de aire fuera de la tubería que debe sacudirse para sacar la energía de la tubería. Esta masa adicional hace que la tubería "parezca" más larga y, por lo tanto, reduce la frecuencia natural no amortiguada de la tubería y hace que suene "plano".

Tiene razón al decir: "la explicación debe estar en el dominio del tiempo en lugar de en el dominio de la frecuencia". Tome, por ejemplo, un SHO ideal en reposo y aplique una fuerza de resonancia en$t=0$. En otras palabras, en$t=0$comienzas a bombear la amplitud, la frecuencia de conducción sigue siendo la misma. La amplitud crece a medida que$t$- linealmente. entonces en$t=\tau$deja de bombear y deja el oscilador libre. Para cualquier tiempo finito de observación$T$el espectro del sistema contendrá diferentes frecuencias solo debido a la presencia de una amplitud variable dentro$0<t<T$. Sólo cuando$T\gg\tau$y$T\gg 2\pi/\omega_0$las otras frecuencias desaparecerán. El bombeo (ganancia) es una especie de caso opuesto al decaimiento (pérdida); siendo la característica común las variaciones temporales de la amplitud del oscilador en ambos casos.

El oscilador armónico básico es un modelo idealista y asume linealidad en las ecuaciones diferenciales que lo describen. Cualquier ampliación del pico para este modelo se debe a la Q del sistema: cuánta fuerza de amortiguamiento está presente en relación con las fuerzas de inercia y restauración. Cuanto mayor sea la Q, más estrecho será el pico.

Pero en los sistemas físicos reales que se aproximan al modelo de un oscilador armónico, siempre hay una no linealidad presente además del armónico lineal ideal. La no linealidad también puede conducir a la ampliación del pico por distorsión armónica . En el dominio del tiempo, la distorsión se ve como una onda sinusoidal que no es una onda sinusoidal perfecta.