Frecuencias no resonantes pero eficientes

¡Este es un problema sutil! Su intuición es correcta (una conducción en$f_0/2$debería ser muy efectivo) aunque el gráfico parece contradecir esto. La razón es que el gráfico muestra la respuesta a una fuerza impulsora sinusoidal. Si de hecho condujiste la masa sinusoidalmente a la frecuencia$f_0/2$, de hecho sería ineficaz: estarías aferrándote a la masa y tratando de hacer que vaya la mitad de rápido de lo que quiere ir.

Sin embargo, está proponiendo fuerzas que parecen impulsos agudos, donde los impulsos llegan a una frecuencia$f$. Tal fuerza en realidad tiene un número infinito de armónicos, en frecuencias$f$,$2f$,$3f$, y así sucesivamente, por lo que es, en cierto sentido, equivalente a conducir con infinitas sinusoides a la vez.

Para ver por qué intuitivamente, considere escuchar a alguien aplaudir unas cuantas veces por segundo. Dado que la frecuencia de los aplausos es bastante baja, podría pensar que sonaría con un tono bajo, pero en realidad suena bastante alto, debido a los muchos armónicos creados en cada aplauso individual.

Son estos armónicos los que escucha la masa cuando conduces a una frecuencia$f_0/n$. La masa es más sensible a la$n^\text{th}$armónico, porque tiene la frecuencia resonante$n(f_0/n) = f_0$. Un análisis más detallado (es decir, tomando la transformada de Fourier de un pulso cuadrado corto repetido) muestra que conducir con impulsos a frecuencia$f_0/n$es casi exactamente tan efectivo como conducir con impulsos con frecuencia$f_0$, siempre que la amortiguación sea baja y los impulsos suficientemente cortos.

Primero intentaré explicar por qué el diagrama de amplitud frente a frecuencia solo tiene un máximo, luego volveré a explicar por qué esto parece contradecir tu intuición.

Tomemos la fórmula de oscilador forzado más simple, sin amortiguamiento (esto no afectará nuestra conclusión), por ejemplo, la de un resorte sometido a una fuerza$F$:

$$\begin{equation} x''(t) + \omega_0^2 x(t) = F(t) \end{equation}$$

Supongamos que$F = F_0 e^{i\omega t}$. Ahora, probemos una solución de la forma$x(t) = Ae^{i\omega t}$. Al inyectar estas expresiones en la ecuación encontramos (después de sumergirnos en ambos lados por$e^{i\omega t}$):

$$\begin{equation} -\omega^2 A +\omega_0^2 A = F_0 \end{equation}$$

Y finalmente :

$$\begin{equation} A = \dfrac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2} \end{equation}$$

Es claro que la amplitud$A(\omega)$tiene un solo máximo en$\omega_0$y eso es. No hay nada especial con las pulsaciones.$\omega_n = \omega_0 / n$dónde$n$es cualquier entero. Por supuesto, existen dispositivos resonantes donde estos modos también son resonantes; este es el caso de algunas cavidades, por ejemplo, donde los modos resonantes son aquellos en los que las ondas reflejadas interfieren constructivamente, lo que puede suceder cuando las toma.$n$períodos para viajar de un lado a otro de la cavidad. Pero no existe tal efecto en un resorte lineal o un péndulo.

Ahora, esto se aplica a una fuerza$F$de la forma$e^{i\omega t}$, que es muy específico: esto significa una fuerza sinusoidal de pulsación$\omega$.

En su experimento, sin embargo,$F$no parece una sinusoide. Está más cerca de un impulso agudo, que se conoce como función de Dirac, señaló$\delta$:$F(t) = \delta(t)$. Ahora bien, el análisis anterior sigue siendo valioso porque cualquier función razonable$F$tiene lo que llamamos una transformada de Fourier$\tilde{F}$tal que:

$$\begin{equation} F(t) = \int \tilde{F}(\omega) e^{i\omega t} d\omega \end{equation}$$ Esto significa que una función $F$se puede representar como una suma de sinusoides. Esto es muy útil, porque la ecuación de movimiento toma una forma muy simple cuando se escribe en el espacio de Fourier: $$\begin{equation} \tilde{x}(\omega) = \dfrac{\tilde{F}(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}$$

Ahora, cuando$F(t) \simeq \delta (t)$(es decir, tiene un valor muy alto en torno a$t=0$cuando se ejerce el impulso y 0 en caso contrario), la transformada de Fourier es una función constante. Esto significa que un impulso muy corto contiene todas las frecuencias, incluida la frecuencia resonante. Así que al final, desde$\tilde{F}(\omega) = cst = F_0$:

$$\begin{equation} x(t) \sim F_0 \int \dfrac{e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2} d\omega \end{equation}$$ Es muy claro que dominan las frecuencias alrededor de la frecuencia resonante, y tenemos aproximadamente: $$\begin{equation} x(t) \propto e^{i\omega_0 t} \end{equation}$$

Entonces, al final, debido a que un impulso "contiene" todas las frecuencias, también contiene la frecuencia resonante, cuyo efecto domina.

Los detalles que no incluyen en los libros de texto de física, pero que probablemente aprenda de la experiencia en ingeniería, es que la resonancia depende no solo de la estructura interna del sistema, sino también de cómo fluye la energía hacia adentro y hacia afuera. Un sistema resonante tiende a atrapar energía y esa energía puede o no ser necesariamente admisible a la frecuencia resonante del sistema. Depende de la estructura interna.

Aunque el medio más común de transferencia de energía para un columpio es empujar ciclo a ciclo en una dirección, también es posible que una persona al frente también dé un empujón de modo que la tasa de entrada de energía al sistema se duplique. Cada entrada, la misma amplitud pero desfasada 180 grados entre sí. Solo muestra la respuesta de frecuencia de amplitud de su sistema de oscilación (péndulo), pero también hay un componente de fase y esto ilustra cómo funciona el empuje desfasado de 180 grados. El siguiente gráfico de fase muestra que es admisible acercarse desde una frecuencia más baja a la señal de fase cercana a cero grados, y acercarse desde una frecuencia alta, 180 grados. El cambio de fase a través de la resonancia es muy brusco cuando el sistema tiene una Q alta (muy poca amortiguación, muy poca pérdida de energía).

A efectos prácticos, el sistema de giro depende de los cojinetes del giro y de las fuerzas de arrastre en algún punto para alcanzar un flujo de energía que sea igual y opuesto a la tasa de entrada de energía del empuje. De lo contrario, ¡el swinger terminará por pasarse por encima! En principio, para los sistemas lineales, la amortiguación cero significa que toda la energía que ingresa al sistema permanece allí y el pico resonante se acerca a una amplitud infinita. Pero para los sistemas prácticos y reales, existen no linealidades que limitan la captura de energía. La energía tiene una tendencia a encontrar una salida a veces rompiendo el sistema (como el colapso del puente Tacoma Narrows ).

Para el sistema de oscilación, la estructura es tal que la tasa de energía y la fase (en el caso de que dos personas empujen) deben ser específicas, pero eso no es necesariamente cierto para todos los sistemas resonantes. Considere la varilla de canto que se usa a menudo en demostraciones de física en resonancia. La energía en este caso es suministrada por la fricción entre los dedos recubiertos con resina y la superficie de la varilla; esencialmente vibraciones de ruido de color de banda ancha que ingresan a la superficie de la barra. En este caso, la estructura interna de la varilla filtra y concentra la energía del ruido de entrada a la frecuencia natural de la varilla. La varilla admite y atrapa solo una banda estrecha de la excitación de entrada. La banda restante de frecuencias se disipa principalmente como calor en la superficie de la barra.