Demostración matemática

Es sencillo ver por qué sucede esto si usa un poco de teoría de respuesta lineal. Considere un oscilador armónico amortiguado genérico. Hay tres fuerzas, la fuerza restauradora$F_\text{restoring} = - k x(t)$, la fuerza de fricción$F_\text{friction} = - \mu \dot{x}(t)$, y la fuerza motriz$F_\text{drive}(t)$. la ley de newton dice$F(t) = m \ddot{x}(t)$lo que da

$$-k x(t) - \mu \dot{x}(t) + F_\text{drive}(t) = m \ddot{x}(t) \, .$$ Dividiendo por $m$y definiendo $\phi(t) \equiv x(t)/m$, $\omega_0^2 \equiv k/m$, $2 \beta \equiv \mu/m$, y $J(t) \equiv F_\text{drive}(t)/m$, obtenemos $$\ddot{\phi}(t) + 2\beta \dot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) = J(t) \, .$$ Esta es una buena forma general del oscilador armónico accionado amortiguado.

Escribiendo$\phi(t)$como una transformada de Fourier

$$\phi(t) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, \tilde{\phi}(\omega) e^{i \omega t}$$ y sustituyendo en la ecuación de movimiento, encontramos $$\left( - \omega^2 + i 2 \beta \omega + \omega_0^2 \right) = \tilde{J}(\omega)$$ que se puede reescribir como $$\tilde{\phi}(\omega) = - \frac{\tilde{J}(\omega)}{\left( \omega^2 - i 2 \beta \omega - \omega_0^2 \right)} \, .$$

Tomemos el caso donde la unidad es un coseno, es decir$J(t) = A \cos(\Omega t)$. En este caso$\tilde{J}(\omega) = (1/2)\left(\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega + \Omega) \right)$así que si lo resuelves todo, encuentras

$$\phi(t) = \Re \left[ - \frac{A e^{i \Omega t}}{\Omega^2 - i 2 \beta \Omega - \omega_0^2} \right] \, .$$ Es fácil comprobar que $\phi(t)$tiene la mayor amplitud cuando $\Omega = \omega_0 \sqrt{1 - 2 (\beta / \omega_0)^2}$, que decrece a medida que $\beta$aumenta Recuerda eso $\beta$es solo proporcional al coeficiente de rozamiento $\mu$así que hemos demostrado que más fricción hace que el pico se mueva a una frecuencia más baja.

Resonancia

Hemos demostrado que la amplitud del oscilador depende del coeficiente de amortiguamiento. Sin embargo, esto no significa que la resonancia se mueva a una frecuencia más baja. La resonancia es una condición definida por el flujo unidireccional de energía desde el variador al sistema. Resulta (fácil de mostrar con las matemáticas que ya hicimos) que esto sucede cuando$\Omega = \omega_0$, es decir, el accionamiento tiene la misma frecuencia que la frecuencia de oscilación no amortiguada . Ya hay una buena publicación sobre este tema que recomiendo leer.

preguntas originales

¿Por qué pasó esto?

Bueno, mostramos por qué matemáticamente. Intuitivamente, se debe a que la fricción quita energía cinética, por lo que el oscilador no se aleja tanto del equilibrio en cada ciclo.

¿Y esto implica que a niveles de amortiguamiento más altos no se puede lograr una amplitud más alta ajustando el período de la oscilación forzada para que sea igual a la frecuencia natural?

Suponiendo una amplitud constante de la unidad, sí.

Esto parece extraño porque la amplitud más alta se logra cuando la frecuencia natural es igual a la frecuencia impulsora. Pero supongo que las reglas son de alguna manera diferentes para el caso de la amortiguación.

De hecho, la amortiguación cambia un poco las cosas.

Otra lectura

• Buena publicación sobre el significado de "factor de calidad" .

Intentaré responder a su pregunta sobre una base conceptual, porque las matemáticas involucradas tenderían a oscurecer el concepto. Para una masa que rebota hacia arriba y hacia abajo en un resorte en el aire, el sistema está casi totalmente sin amortiguar y el resorte oscilará a una frecuencia que depende de la constante del resorte y la masa total que oscila. Si tomo este mismo sistema y coloco la masa en un líquido como el agua, habrá fuerzas de arrastre sustanciales en la masa y la frecuencia de la oscilación disminuirá. Además, la amplitud de las oscilaciones decaerá exponencialmente debido a la cantidad de amortiguamiento involucrado.

Para que ocurra la resonancia, tendría que conducir el sistema amortiguado o no amortiguado a su frecuencia natural. Al hacerlo, la amplitud máxima de un sistema no amortiguado tendería a aumentar sin límite (se rompería), mientras que la amplitud máxima del sistema amortiguado estaría limitada por el amortiguamiento involucrado, con un mayor amortiguamiento resultando en una amplitud máxima más pequeña, porque el agente amortiguador actúa para absorber la energía puesta en el sistema. Esto significa que la altura de la amplitud máxima en condiciones de resonancia disminuirá progresivamente a medida que aumenta la cantidad de amortiguamiento, y las fuerzas de arrastre crecientes también harán que la frecuencia de resonancia disminuya, como se muestra en el dibujo.

Me doy cuenta de que un sistema de resorte-masa es un ejemplo súper simple, pero tenga la seguridad de que las matemáticas que se usan para describir este sistema serían muy similares a las matemáticas que se usan para describir muchos otros tipos de sistemas oscilantes. ¿Esta explicación proporciona suficiente comprensión conceptual para explicar su pregunta?

1. La matemática del oscilador subamortiguado se vuelve particularmente bonita si usamos un vector de posición de valor complejo$x$. [Es decir, la parte real${\rm Re}(x)$representa la posición física.] Solo transformada de Fourier:

   $$\begin{align}\ddot{x}+2b\dot{x}+\omega_0^2 x~=~&f\cr\cr \text{Fourier transf. }& {\Updownarrow} \cr\cr -\overbrace{\underbrace{(\omega^2+2ib\omega -\omega_0^2)}_{P(\omega)=(\omega-\omega_+)(\omega-\omega_-)}}^{\text{characteristic polynomial}}\tilde{x}~=~&\tilde{f}.\end{align}\tag{1}$$

2. Supongamos en esta respuesta que el oscilador está subamortiguado , es decir, que$\omega_0^2>b^2$. Las frecuencias características

   $$\omega_{\pm}~=~\pm\overbrace{\underbrace{\omega_{\rm ring}}_{\text{oscillatory}}}^{\text{real}}-\overbrace{\underbrace{ib}_{\text{exp. decay}}}^{\text{imaginary}}\tag{2}$$ son las frecuencias complejas que el sistema elegiría si no hubiera una fuerza externa$f$. Aquí $$\omega_{\rm ring}~:=~\sqrt{\omega_0^2-b^2} \tag{3}$$ se conoce como frecuencia de llamada, frecuencia sinusoidal o frecuencia natural amortiguada.

3. La frecuencia de resonancia

   $$\omega_{\rm peak}~=~\sqrt{(\omega_0^2-2b^2)_+}~:=~\sqrt{\max(\omega_0^2-2b^2,0)}\tag{4}$$ es el punto mínimo para el valor absoluto $$|P(\omega)|~=~\sqrt{(\omega^2-\omega^2_0)^2+4b^2\omega^2}, \qquad \omega \geq 0,\tag{5}$$ del polinomio característico. Esto corresponde a la ganancia máxima (o pico de transmisibilidad) del oscilador forzado.

4. Supongamos por simplicidad que$\omega_0^2>2b^2$, de modo que la frecuencia de resonancia$\omega_{\rm peak}>0$es distinto de cero. Entonces el cuadrado

   $$\omega_{\rm ring}^2~=~\omega_0^2-b^2\tag{6}$$ de la frecuencia de llamada se encuentra precisamente entre el cuadrado $$\omega_{\rm peak}^2~=~\omega_0^2-2b^2\tag{7}$$ de la frecuencia de resonancia y el cuadrado$\omega_0^2$de la frecuencia natural no amortiguada.

$$\begin{array}{rccc ccl} &--|--&--&--&--&--|-- \hspace{2ex} --|-- \hspace{2ex} --|--&--> \quad\omega^2\cr &0&&&&\omega_{\rm peak}^2 \hspace{7ex} \omega_{\rm ring}^2 \hspace{7ex} \omega_0^2&\cr &&&&& \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} \underbrace{\hspace{11ex}}_{b^2} &\end{array}$$ $\uparrow$Fig. 1: La frecuencia de resonancia$\omega_{\rm peak}$y la frecuencia de llamada$\omega_{\rm ring}$disminuye con el aumento de la fricción$b$.

5. Ahora volvamos a la pregunta de OP:

   ¿Por qué el pico cambia a frecuencias más bajas a medida que aumenta la cantidad de amortiguamiento?

   Respuesta: OP esencialmente está pidiendo intuición detrás del coeficiente negativo frente a$b^2$en la ec. (7). Aquí hay un argumento: es intuitivo que la frecuencia de resonancia (7) y la frecuencia de timbre (6) cambiarían en la misma dirección para aumentar la fricción.$b$, es decir, es intuitivo que los signos delante de$b^2$en ecs. (6) y (7) son iguales. Además, el coeficiente negativo delante de$b^2$en la ec. (6) tiene un significado físico: cuando aumentamos la fricción$b$, en algún momento el oscilador se sobreamortigua con frecuencias características puramente imaginarias (2). Esta transición solo ocurre si el coeficiente delante de$b^2$es negativo, lo que responde a la pregunta de OP.

Ya tienes una buena respuesta matemática, así que me centraré en una respuesta casi sin ecuaciones.

Supongo que entiendes las matemáticas básicas del oscilador armónico simple.

Cuando agrega amortiguación, la cantidad de energía que pierde por ciclo depende de la velocidad: cuanto más rápido vaya, más energía perderá (a la misma amplitud) porque la fuerza aumenta con$k\dot{x}$.

Por supuesto, la velocidad es proporcional a la frecuencia, por lo que un oscilador accionado a una frecuencia más alta perderá más energía por ciclo que un oscilador accionado a una frecuencia más baja.

Por otro lado, el mejor acoplamiento de energía en el sistema ocurre cuando la fuerza impulsora está exactamente desfasada 90 grados con respecto a la amplitud (por lo que la fuerza está en fase con la velocidad), lo que ocurre en la frecuencia resonante no amortiguada.

A medida que aumenta la cantidad de amortiguación, el factor "más energía perdida por ciclo" comienza a vencer al factor "más energía acoplada por ciclo". Y eso significa que la mayor amplitud de respuesta cambia a frecuencias más bajas.

Pero supongo que las reglas son de alguna manera diferentes para el caso de la amortiguación.

En ambos casos, los resultados son las soluciones de las ecuaciones (diferenciales) de movimiento. En el caso del oscilador accionado no amortiguado:

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}+kx=F_0\cos(\omega t + \phi_d)$$

$\omega$es la velocidad angular de la fuerza impulsora. Resolverlo da el resultado en su gráfico.

Fuente.