Hallar la frecuencia de resonancia para oscilaciones amortiguadas forzadas

Tus ecuaciones parecen ser correctas. Hay tres tipos de frecuencias a considerar:

• $\omega_0$es la frecuencia de las oscilaciones no amortiguadas, es decir, cuando$b = 0$, también conocida como frecuencia natural
• $\omega_d$es la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas, es decir, cuando$0<b<2m\omega_0$
• $\omega_r$es la frecuencia a la que la ganancia del sistema es máxima, también conocida como frecuencia resonante

La frecuencia resonante no es igual a la frecuencia natural excepto para los osciladores no amortiguados que existen solo en teoría. Aquí hay una explicación física (intuitiva):

https://física.stackexchange.com/a/353061/149541

Sin embargo, para osciladores con alto factor de calidad, la frecuencia resonante es igual a la frecuencia natural.$\omega_r \approx \omega_0$, como mostraré aquí.

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La ecuación diferencial del oscilador amortiguado forzado es:

$$m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = u$$

dónde$m$es la masa del objeto y$b$es el coeficiente de amortiguamiento. Esta ecuación del sistema también se suele escribir de la siguiente forma:

$$\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} u$$

dónde

$$\gamma = \frac{b}{m} \quad \text{and} \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}$$

El factor de calidad es un número adimensional que describe qué tan subamortiguado está un oscilador. Cuanto mayor sea el número, la amplitud de la oscilación decae más lentamente:

$$Q = \frac{\omega_0}{\gamma}$$

La función de transferencia del sistema es:

$$G(s) = \frac{1}{m} \frac{1}{s^2 + \gamma s + \omega_0^2} = \frac{1}{m \omega_d} \frac{\omega_d}{(s+\sigma)^2 + \omega_d^2}$$

dónde

$$\sigma = \frac{\gamma}{2} \quad \text{and} \quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \sigma^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$$

El sistema está subamortiguado cuando$\omega_0^2 - \sigma^2 > 0$, es decir, cuando$b < 2 m \omega_0$. Cuando se cumple esta condición, el sistema oscila con una amplitud que decae con el tiempo. Tenga en cuenta también el factor de calidad del efecto que tiene en el sistema: cuanto mayor sea el$Q$, las oscilaciones son menos amortiguadas y la frecuencia$\omega_d$está más cerca de$\omega_0$, dónde$Q > \frac{1}{2}$.

La respuesta a cualquier entrada en el dominio de Laplace es$X(s) = G(s) U(s)$. Cuando la señal de entrada es un impulso$u(t) = \delta(t) \leftrightarrow U(s) = 1$, entonces la respuesta correspondiente ( respuesta de impulso ) es

$$x(t) = \frac{1}{m\omega_d} e^{-\sigma t} \sin(\omega_d t), \qquad t \geq 0$$

De esto queda claro lo que hace cada parámetro:$\omega_d$es la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas y$\sigma$es la tasa de caída de la amplitud de oscilación.

Necesitamos encontrar la función de transferencia en representación compleja:

$$G(j\omega) = \Bigl. G(s) \Bigr|_{s = j\omega} = \frac{1}{m} \frac{1}{(-\omega^2 + \sigma^2 + \omega_d^2) + j(2\sigma\omega)}$$

La ganancia del sistema se define como

$$A(\omega) = \left| G(j\omega) \right| = \frac{1}{m} \frac{1}{\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}}$$

La ganancia máxima con respecto a la frecuencia se puede encontrar a partir de

$$\frac{d}{d\omega} A(w) = -\frac{1}{2m} \frac{2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma}{\Bigl(\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}\Bigr)^3} = 0$$

La solución se obtiene de

$$2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma = 0$$

$$\omega^2 = \omega_d^2 - \sigma^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}$$

Por lo tanto, la ganancia del sistema es máxima para

$$\omega_r = \sqrt{\omega_d^2 - \sigma^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2 Q^2}}$$

La frecuencia de resonancia es igual a$\omega_0$para osciladores de alto Q. por ejemplo, para$Q = 10$la frecuencia de resonancia es$\omega_r = 0.9975 \cdot \omega_0$.

La ganancia del sistema a la frecuencia resonante es

$$\Bigl. A(w) \Bigr|_{\omega=\omega_r} = \frac{1}{m} \frac{1}{2\sigma \omega_d} = \frac{1}{k} \frac{Q}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}}$$

La ganancia del sistema es proporcional al factor Q.

Frecuencia resonante que la gente define como$\omega_0$no es la frecuencia con máxima oscilación, https://youtu.be/Y_DmzZcQR7A Walter lewin explica esto a las 20:00

$\omega_{max}$es.