¿Qué significa el dual de un tensor (por ejemplo, tensor de estrés dual en ED relativista)?

El dual de un tensor al que te refieres es el dual de Hodge y no tiene nada que ver con el dual de un vector. La palabra "dual" se usa en demasiados contextos diferentes, y en este caso incluso se usa igual$*$símbolo. Por lo general, se especifica "Hodge dual" u "Hodge star operator" para evitar confusiones. Ambos "duales" son isomorfismos entre espacios vectoriales dotados de producto interior.

El dual de un espacio vectorial $V$es el espacio vectorial$V^*$que consiste en las funciones lineales (funcionales)$f:V\to \mathbb R$(o$\mathbb C$si$V$es un espacio vectorial complejo). El dual de un vector$v\in V$tiene sentido solo si$V$está dotado de un producto interior$g$, y se define como$v^\flat\in V^*$,$v^\flat(u)=g(v,u)$. Este dual es un isomorfismo entre el espacio vectorial del producto interno$(V,g_{ab})$y su doble$(V^*,g^{ab})$.

El dual de Hodge se define sobre tensores totalmente antisimétricos de$\otimes^k V$, es decir, en$\wedge V^k$. se define en$\wedge V\to \wedge V$, dónde$\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$. También requiere la existencia de un producto interno.$g$en$V$. El producto interior se extiende canónicamente a todo el$\wedge V$.

El dual de Hodge se define de la siguiente manera. Construimos una base sobre$V$, que es ortonormal con respecto al producto interior$g$, decir$e_1,\ldots,e_n$. Entonces, para cada$k$, hay una base de$\wedge^k V$de la forma$e_{i_1}\wedge\ldots \wedge e_{ik}$. Esta base también se considera ortonormal, y por esto,$g$define un producto interno en$\wedge^kV$.

El dual de Hodge se define primero entre$\wedge^kV\to\wedge^{n-k}V$, Ambos espacios tienen la misma dimensión, que es$C^k_n$. El isomorfismo canónico entre ellos se define primero en los elementos de la base:

$$*(e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=\epsilon e_{j_i}\wedge\ldots\wedge e_{j_{n-k}}.$$ Aquí, los índices $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$son una permutación de los números entre $1$y $n$. $\epsilon$es $+1$si la permutacion $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$es par y $-1$de lo contrario. Esto define de manera única el isoporfismo. Se extiende únicamente a $\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$, ya que esta es una suma directa de espacios vectoriales.

Nótese que los vectores también admiten duales de Hodge, pero sus duales son elementos de$\wedge^{n-1}V$.

Ya que podemos considerar que$\mathbb R=\wedge^0 V$, el dual de Hodge del escalar$1$es el elemento de volumen$*1:=e_1\wedge\ldots\wedge e_n\in\wedge^n V$. En una base, se denota por$\epsilon_{12\ldots n}$.

De manera similar, el dual de Hodge se puede definir en el espacio de formas exteriores$\wedge V^*$.

En el caso de los espaciotiempos lorentzianos de dimensión$4$, la dualidad de Hodge establece isomorfismos entre$\mathbb R$y$\wedge^4 V$, Entre$V$y$\wedge^3 V$, y entre$\wedge V^2$y en sí mismo

Una forma alternativa de construir la dualidad de Hodge es mediante el álgebra de Clifford asociada a$V$. En este caso, existe un isomorfismo (como espacios vectoriales con producto interior) entre$\wedge V$y$Cl(V)$. El dual de Hodge traducido al lenguaje del álgebra de Clifford como multiplicación de Clifford con el$n$-vector que corresponde al elemento de volumen,$\gamma_1\cdot\gamma_2\cdot\ldots\cdot\gamma_n$.

Volvamos a la confusión de terminología. para un vector$v\in V$, el dual es un covector$v^\flat\in V^*$. El dual de Hodge se puede obtener construyendo una base ortonormal a partir de$v$, luego tomando el producto cuña entre los otros elementos, y dividiendo por la longitud de$v$. El resultado es de$\wedge^{n-1}V$, no de$V^*$. Todos estos tres espacios son isomorfos, de forma canónica, y también con$\wedge^{n-1}V^*$, al componer los dos tipos de dualidades. Pero las dos dualidades se refieren a isomorfismos totalmente distintos.

En relación con la Electrodinámica (en el espacio-tiempo lorentziano), el dual de Hodge del tensor electromagnético aparece en las ecuaciones de Maxwell:

$$d F=0$$

y

$$d *F=*J$$

dónde$J$es el actual$1$-forma. Estas dos ecuaciones contienen las cuatro ecuaciones de Maxwell. Aquí,$*F$es el dual de Hodge del tensor electromagnético$F$, y$*J$de la corriente$1$-forma$J$(que a su vez es el "dual" en el otro sentido del vector actual).

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Adicional

Para estar más cerca de la pregunta. La ecuacion

$$*F_{ij} = \frac{1}{2} \epsilon_{ij}{}^{kl} F_{kl}$$

representa la dualidad de Hodge entre$\wedge^2V$y en sí mismo Pero

$$*F^{ij} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijkl} F_{kl}\tag{1}$$

es una dualidad entre$\wedge^2V$y$\wedge^2V^*$. También existe la dualidad en el primer sentido, entre$\wedge^2V$y$\wedge^2V^*$(extendiendo eso entre$V$y$V^*$). Entonces, hay dos isomorfismos distintos entre los espacios vectoriales con producto interno$\wedge^2V$y$\wedge^2V^*$.

La respuesta de Cristi Stoica de que las dos nociones de dualidad son completamente diferentes entre sí se repite en varios libros de texto estándar; véase el ejercicio 3.14 de la página 88 de "Gravitation" de MTW y el apartado 4.9 de la página 125 de "Métodos geométricos de la física matemática" de Bernard Schutz. A pesar de esto, mostraré que las dos nociones de dualidad son la misma.

Dejar$e_{a}$por$a=1,\ldots,m$ser un conjunto de vectores base que abarcan el espacio vectorial$V_{m}$. el vector$e_{a}$tiene componentes$e^{i}_{\ a}$dónde$i=1,\ldots,m$. La cantidad$e^{i}_{\ a}$puede ser estudiado como un$m\times m$matriz. Letras$i,j,k$se utilizará para los componentes de un vector y$a,b,c$se utilizará para etiquetar los propios vectores base. el doble espacio$\tilde{V}_{m}$está atravesada por los vectores de base dual$e^{a}$; los vectores base y la base dual tienen productos escalares$\langle e^{a}|e_{b}\rangle=\delta^{a}_{b}$. El producto escalar es una contracción,

$$\langle e^{a}|e_{b}\rangle= [e^{a}]_{i}[e_{b}]^{i}=[e^{a}]_{i}e^{i}_{\ b}=\delta^{a}_{b}$$ de modo que el vector de base dual $e^{a}$tiene componentes $[e^{-1}]^{a}_{\ i}$; como matriz, el conjunto de vectores de base dual es el inverso de la matriz para el conjunto de vectores de base. La regla de Cramer dice, $$[e^{-1}]^{a}_{\ i}=\frac{1}{\det{e}} \epsilon_{k_{1}\ldots i\ldots k_{m}}e^{k_{1}}_{\ 1}\ldots \check{e^{k_{a}}_{\ a}} \ldots e^{k_{m}}_{\ m}$$ donde componente $i$en el RHS está en el $a$th lugar en el tensor de Levi-Civita y el control sobre el vector base $e_{a}$significa que se omite. La regla de Cramer muestra que uno puede hacer los vectores duales $e^{a}$ese lapso $\tilde{V}_{m}$por una contracción del $m-1$Vectores de base $e_{1}\ldots \check{e_{a}}\ldots e_{m}$con el tensor Levi-Civita. Se dice que la noción de dualidad que genera nuevos tensores al contraerse con el tensor de Levi-Civita no tiene nada que ver con la dualidad entre un conjunto de vectores base y la base dual, pero la regla de Cramer muestra que uno puede obtener el conjunto de base dual vectores contrayendo conjuntos de vectores base con el tensor de Levi-Civita: las dos nociones de dualidad son, de hecho, la misma.

De hecho, este es un comentario a la respuesta de Stephen Blake. Me sugirieron que respondiera, y creo que debería hacerlo, pero la respuesta es demasiado larga para un comentario.

Es correcto lo que se dice en la respuesta de Stephen Blake sobre la regla de Cramer. No es correcto que las dos dualidades sean iguales. Creo que hay una confusión allí, que puede confundir más al lector. Intervienen tres espacios, y tres isomorfismos, de los cuales se obtiene uno de ellos componiendo los otros dos. Pero hay al menos dos isomorfismos para empezar, no solo uno, como afirma Stephen Blake. Consulte en lo que sigue tanto a mi respuesta como a la respuesta de Stephen Blake.

El dual de Hodge entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V$se puede expresar usando el símbolo de Levi-Civita en la forma

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}$$

por

$$(*A)^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=\frac{1}{k!}\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}} A^{i_1\ldots i_k}$$

Esta forma del símbolo de Levi-Civita se obtiene elevando algunos de los índices de la siguiente forma del símbolo de Levi-Civita

$$\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}.$$

Suelen considerarse iguales debido a los isomorfismos musicales, que son en realidad los isomorfismos de dualidad entre$V$y$V^*$.

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=g^{i_{k+1}j_{k+1}}\ldots g^{i_{n}j_{n}}\epsilon_{i_1\ldots i_k j_{k+1}\ldots j_{n}}.$$

El símbolo de Levi-Civita$\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}$establece un isomorfismo entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V^*=(\wedge^{n-k}V)^*$. Ejemplifiqué esto en mi respuesta, porque$n=4$y$k=2$.

Es una cuestión de convención definir el dual de Hodge como el isomorfismo entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V$(esta fue mi elección), o que entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V^*$. Después de dar la definición de una u otra manera, para pasar de uno de los dos isomorfismos al otro, usamos el isomorfismo musical (el isomorfismo de dualidad entre entre$V$y$V^*$).

Es cierto que podemos obtener por la regla de Cramer el dual de una base en$V$, mediante el uso del símbolo de Levi-Civita, pero este no es exactamente el isomorfismo entre$V$y$V^*$. Es en cambio el isomorfismo entre$\wedge^{n-1}V$y$V^*$. Y si queremos identificar$\wedge^{n-1}V$con$V$, usamos implícitamente el dual de Hodge entre ellos. Entonces, la afirmación de que las dos dualidades son iguales se basa en usar tanto la definición del dual de Hodge como el isomorfismo entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V$, y que entre$\wedge^k V$y$\wedge^{n-k}V^*$. La dualidad entre$V$y$V^*$se obtuvo al componer las dos versiones de Hodge dual, que contienen implícitamente el isomorfismo musical. Así que dos de los tres isomorfismos son fundamentales.

Por otro lado, como expliqué en mi respuesta, el dual de Hodge se construye utilizando el producto interno, que puede verse como la dualidad entre$V$y$V^*$. En este sentido, la dualidad entre$V$y$V^*$es más fundamental.