Interpretación física de 2 formas duales a pseudovectores

El momento angular es un ejemplo muy instructivo para observar, en particular, para observar cómo cambia la noción de momento angular (o, de hecho, rotación) cuando se considera más o menos de las tres dimensiones espaciales habituales. La noción adecuada de momento angular que se generaliza a todas las dimensiones es$L = \vec r\wedge \vec p$, es decir, una forma de 2, el producto de cuña de la posición y el momento. En tres dimensiones, el dual de Hodge de esta forma es el pseudovector ordinario del momento angular y, de hecho, uno podría definir el producto vectorial en 3d como el dual de Hodge del producto de cuña. Deberías pensar en la forma 2$L$como describiendo el plano en el que ocurre la rotación , junto con algunos números que codifican su dirección y velocidad.

Comencemos en una dimensión: no hay rotación para un objeto en una dimensión: solo puede moverse hacia adelante y hacia atrás, y en ningún otro lugar. Esto corresponde a que la segunda potencia exterior de un espacio vectorial unidimensional es cero: no hay 2 formas, por lo tanto, no hay rotación.

En dos dimensiones, claramente hay rotación, imagina una "varilla" unidimensional girando en un plano. Puede sentirse tentado a describir la rotación como el vector tridimensional del momento angular perpendicular al plano, pero esta es una descripción extrínseca . Si el mundo fuera verdaderamente bidimensional, esta descripción no estaría disponible, pero la descripción por dos formas está disponible. Las formas 2 en 2 dimensiones son duales a las formas 0, es decir, escalares, por lo que la rotación en un plano fijo se describe completamente no por un vector, sino por un número: su magnitud le indica qué tan rápido es la rotación y el signo si es en sentido horario o antihorario.

En tres dimensiones, obtenemos la dualidad familiar entre 2 formas y 1 formas/vectores. Pero tenga en cuenta que realmente no hay nada sobre la rotación que lo obligue a describirla como "rotación sobre un eje" en lugar de "rotación en un plano": las dos descripciones / interpretaciones son completamente duales, y es la última la que se generaliza a todos . dimensiones.

En cuatro dimensiones ... bueno, entiendo que esto ya no es visual, pero piense en la relatividad especial y las transformaciones de Lorentz, que son rotaciones generalizadas: son generadas por 2 tensores, no vectores, y su cantidad conservada asociada es un tensor de 2, el tensor de energía-momento, no un vector.

Tenga en cuenta que en ninguna parte me he basado en la "pseudonidad" del vector de momento angular en 3d. Es un artefacto del dual de Hodge que no conmuta con reflejos, pero en realidad no es la propiedad definitoria de un "pseudovector". Un "pseudovector" no es un vector en absoluto, es intrínsecamente una forma de 2 , y especialmente cuando generalizas a otras dimensiones debes respetar eso, como también señalé aquí .

Que la fuerza magnética es un pseudovector y no un vector es algo que solo puede apreciar después de cambiar a la formulación covariante del electromagnetismo y reconocer los campos eléctricos y magnéticos como ciertas partes del tensor de fuerza del campo electromagnético, y una vez más, encontrará que ir a otras dimensiones muestra que el campo magnético no es fundamentalmente un "vector" en absoluto; en particular, es equivalente a un escalar en 2 dimensiones espaciales, y a un más complicado$d-2$-forma en dimensiones superiores. Puede pensar en la forma magnética de 2 como una colección de planos, las velocidades de las partículas cargadas son "arrastradas" en el sentido de que cuanto más paralela es su velocidad a estos planos, más fuerte es la fuerza magnética que intenta hacerlos describir círculos en esos planos:

Considere que el vector$\vec B$es perpendicular a los planos que describe su doble forma de Hodge y que la fuerza de Lorentz es$\vec v\times \vec B$. Esto es máximo cuando$\vec v$y$\vec B$son perpendiculares, es decir cuando$\vec v$se encuentra en el plano que codifica el dual, y la fuerza de Lorentz también es perpendicular a$\vec B$, por lo que siempre se encuentra en ese plano.