¿Cómo estableció Newton las leyes de conservación en los Principia?

Newton escribió los Principia en 1684-1686. En ese momento, no habría esperado que ningún lector en Europa (con la posible excepción de algunos amigos) conociera el método de fluxiones (cálculo), que nunca había publicado. Para que se entendiera su obra, necesitaba escribirla sin utilizar ni las técnicas ni la notación de fluxiones. (La primera publicación de Leibniz sobre las técnicas del cálculo no fue hasta 1684, por lo que Newton tampoco habría anticipado que muchos de sus lectores podrían estar familiarizados con las ideas a través de Leibniz y, en cualquier caso, los lectores que conocían la notación de Leibniz no habrían entendido la de Newton. )

Newton entendió claramente lo que hoy llamaríamos vectores, como se puede ver claramente en los Principia . En las páginas 84-86, presenta lo que hoy llamaríamos el método del paralelogramo de la suma de vectores (Cor. I), y afirma que el vector de cantidad de movimiento se conserva (Cor. III). El hecho de que no use el término "vector" (que se inventó mucho más tarde) es irrelevante.

No habla de la conservación de la energía porque la conservación de la energía no se descubrió hasta el siglo XIX. En el siglo XVII no existía la noción del equivalente mecánico del calor y la energía térmica no se concebía como la energía cinética del movimiento aleatorio de las moléculas. En este período, la teoría del flogisto era nueva.

En Principia, Newton presenta una imagen basada en fuerzas más que en energía y cantidad de movimiento, y no tenía a su disposición los conceptos de vector y de energía mecánica. Además, Newton se opuso a la idea de Leibniz de poner la energía cinética ("vis viva") en el centro de la dinámica por motivos filosóficos, porque consideraba que las fuerzas eran más fundamentales. No había noción de energía potencial en ese momento, y algunas de las fuerzas tratadas en Principia, como la resistencia del aire, no son potenciales, por lo que cuando operan, incluso la energía mecánica total no se conserva.

La conservación de la energía cinética y el momento se consideró principalmente en ese momento en el contexto de las colisiones elásticas, y hubo una "controversia vis viva" sobre cuál de ellos era la cantidad "verdadera" de movimiento. Ninguno de los dos podía considerarse una ley universal en ese momento, porque no se entendía la naturaleza del calor y los componentes dependientes del marco de un vector no eran un elemento. De hecho, Newton trabajó con dos nociones diferentes de cantidad de movimiento , masa por velocidad, que se remonta a Descartes, y la moderna, pero solo en términos de componentes. Señala explícitamente que "el movimiento cartesiano puede obtenerse o perderse", y deriva la conservación de los componentes de la tercera ley del movimiento:"

En una anticipación de la visión moderna, Boscovich caracterizó en 1745 la vis viva como la medida de la fuerza que actúa a lo largo de una distancia, y el impulso como la medida de una fuerza que actúa a lo largo de un tiempo, y D'Alembert incluyó esta caracterización en la segunda edición de su Traite de Dinámica (1758). Pero ni el concepto de vector, ni la noción general de energía, necesarios para dar centralidad a las leyes de conservación en la física, surgieron hasta el siglo XIX.

En cuanto al uso del cálculo, existe evidencia de que Newton originalmente elaboró ​​Principia en términos de geometría euclidiana y lo conectó al cálculo solo después de la primera publicación. La conversión de Principia a la notación de cálculo fue realizada por Euler en Mechanica (1736). Lagrange en Mecanique Analytique (1788) introdujo la energía potencial (sin el nombre, propuesta por Rankine en 1853) y derivó explícitamente la conservación de la energía mecánica de la reformulación de Euler esencialmente de la manera moderna. Modernizando la notación, la segunda ley de Newton$m_i\frac{d^2x_i}{dt^2}=-\frac{\partial U}{\partial x_i}$, dónde$U$es el potencial de las fuerzas, se multiplica en ambos lados por$\frac{dx_i}{dt}$y sumado sobre las coordenadas (generalizadas). Usando la regla del producto a la izquierda, la regla de la cadena multivariable a la derecha y moviendo todo a la izquierda se obtiene: