Problema de la mecánica del pistón que implica el movimiento de rotación.

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La figura anterior muestra un pistón que impulsa una manivela OP pivotada al final O . El pistón se desliza en un cilindro recto y la manivela gira con velocidad angular constante. ω . Encuentra la distancia O q en cuanto a las longitudes b , C y el ángulo θ . Demuestra que, cuando b / C es pequeño, O q está dada aproximadamente por O q = C + b porque ⁡ ( θ ) − b 2 2 C pecado 2 ⁡ ( θ )

He esbozado un pequeño diagrama que es el siguiente;

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porque ⁡ θ = X b esto implica que b porque ⁡ θ = X

pecado ⁡ θ = h b esto implica que b pecado ⁡ θ = h

ahora C 2 = h 2 + y 2 entonces C 2 − h 2 = y 2

ahora estoy dejando la longitud O q = z .

z = X + y = b porque ⁡ θ + C 2 − b 2 ( pecado ⁡ θ ) 2

Ahora sé que puedo manipular esto más. pero siento que me estoy alejando cada vez más. Puede que haya cometido un error, pero ¿es trigonometría básica?

De hecho, diría que esa es exactamente la respuesta que debe tener, al menos para encontrar z como una función de b , C , y θ . Todo lo que queda es encontrar el último resultado, y para eso ayuda saber la aproximación de la serie binomial de 1 − X ...
pero ¿no es eso una expansión infinita ya que su poder no es un poder entero? ¿O uso la serie de Taylor?
Es una serie infinita, sí, pero para la aproximación de orden principal (la que se usó para obtener su respuesta) simplemente toma los dos primeros términos de la serie. En términos de la serie de Taylor, equivale a eliminar todo lo que se encuentra más allá del término de primer orden.
Su expresión inicial para OQ no es consistente con el diagrama - conecte θ = 0 y tendrás OQ=c, en lugar de la respuesta correcta de b+c. El segundo término debe ser b porque ⁡ θ .
Eso fue un error tipográfico, estaba a punto de editar. ¡Gracias por señalarlo! también semi clásico, muchas gracias.

Respuestas (1)

La clave para recordar es que las bielas son rígidas y deben mantener su longitud en todo momento.

Ponga el origen en O. El punto P es instantáneamente b porque ⁡ θ , b pecado ⁡ θ que automáticamente satisface | O PAG | = b . Si q = ( z , 0 ) , uno debe tener | PAG q | = C . esto te da

( z − b porque ⁡ θ ) 2 + ( b pecado ⁡ θ ) 2 = C 2 z 2 − 2 b z porque ⁡ θ + b 2 − C 2 = 0
Resolviendo esta cuadrática para z tienes

z = b porque ⁡ θ ± C 2 − b 2 pecado 2 ⁡ θ = b porque ⁡ θ ± C 1 − b 2 C 2 pecado 2 ⁡ θ
Tienes que sacar la raíz positiva ya que la longitud es b+c en θ = 0 .

Para pequeños b / C , puede expandir el término raíz cuadrada en una serie de Taylor como ( 1 + X ) ( 1 / 2 ) ≈ 1 + X 2 , dandote

z ≈ b porque ⁡ θ + C − b 2 2 C pecado 2 ⁡ θ

Problema de la mecánica del pistón que implica el movimiento de rotación.
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