¿Siempre es posible tener una coordenada horaria (local) en GR?

Question

¿Siempre es posible tener una coordenada horaria (local) en GR?

ryan unger

Disculpas por el título confuso, es tarde aquí. Me pregunto exactamente qué significado tiene la "coordenada de tiempo" en la Relatividad General. Siempre escribimos el elemento de línea como

\begin{matrix} (1) & d s^{2} = {gramo}_{00} (d X^{0})^{2} + 2 {gramo}_{0 i} d X^{0} d X^{i} + {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j}, \end{matrix}

$\tag{1} ds^2=g_{00}(dx^{0})^2+2g_{0i}dx^0dx^i+g_{ij}dx^idx^j,$ con la suposición de que

x^{0}

$x^0$ es una especie de coordenada de tiempo, y

x^{i}

$x^i$ son coordenadas espaciales. Sin embargo, como muestran las coordenadas del cono de luz, si elegimos un sistema de coordenadas aleatorio, la métrica no tendrá la forma (1). ¿Es la existencia de sistemas de coordenadas como en (1) un axioma o se puede derivar de alguna manera? Por coordenada de tiempo quiero decir que las líneas de coordenadas de tiempo deben tener vectores tangentes de tipo temporal, y de manera similar con coordenadas de tipo espacial.

qmecanico

Comentario a la publicación (v2): Considere incluir su definición de 'local' y 'coordenada de tiempo' para mayor claridad.

Profesor Legolasov

Considere estudiar la formulación ADM de la Relatividad General. Siempre es posible elegir el indicador de difeomorfismo de modo que los grados de libertad de la Relatividad General estén descritos por la métrica espacial 3D

q_{a b}

$q_{ab}$ .

Valter Moretti

@Solenodon Paradoxus, debe asumir que el espacio-tiempo es globalmente hiperbólico para probar la existencia de la foliación que menciona. La respuesta proporcionada por Ocelo7 a continuación es completamente local y no necesita hipótesis globales, es válida también para espaciotiempos patológicos donde no existen foliaciones espaciales globales.

Profesor Legolasov

@ValterMoretti No estoy de acuerdo, siempre puedes considerar una foliación de algún parche de coordenadas local.

Valter Moretti

Sí, tiene razón, pero la prueba es un refinamiento de la que se describe a continuación.

ryan unger

@SolenodonParadoxus Entonces, ¿es cierto que cualquier punto está contenido en un conjunto hiperbólico global (posiblemente pequeño)? Si conoces esa prueba, eso es de mi interés.

ryan unger

@ValterMoretti También te hago ping sobre este tema.

Valter Moretti

En realidad no lo sé, lo siento. Si el espacio-tiempo es fuertemente causal, creo que los conos dobles suficientemente pequeños

I^{+} (p) \cap I^{-} (q)

$I^+(p) \cap I^-(q)$ incluidos en vecindades geodésicamente convexas deben ser globalmente hiperbólicos. Sin embargo, utilicé esta maquinaria hace varios años y mi sentimiento podría ser engañoso en la actualidad. Probablemente, una mirada al libro de Beem-Eherlich-Easley podría ser útil. Por el procedimiento en la auto-respuesta de Ocelo7 se puede construir una foliación local de superficies espaciales, pero nada asegura que estas sean superficies (locales) de Cauchy.

ryan unger

@ValterMoretti Para lo que quiero, es suficiente tener una foliación local de superficies espaciales. Creo que lo que quiero es tomar las superficies.

[x^{0} = const.]

$[x^0=\text{const.}]$ a continuación, pero por mi vida no puedo probar que estos son similares al espacio.

Valter Moretti

Es fácil. Fijar una base minkowskiana en

T_{p} M

$T_pM$ luego considere las coordenadas normales geodésicas centradas en

p

$p$ . exactamente en

p

$p$ la métrica es la métrica de Minkowski de modo que

g_{00} < 0

$g_{00} <0$ ,

g_{i j} > 0

$g_{ij} >0$ y

g^{00} < 0

$g^{00}<0$ . Estas condiciones quedan satisfechas en un barrio de

p

$p$ porque las funciones involucradas son continuas. La condición

g^{- 1} (d x^{0}, d x^{0}) = g^{00} < 0

$g^{-1}(dx^0,dx^0)= g^{00}<0$ significa que las superficies en

x^{0} =

$x^0=$ las constantes son como el espacio...

Valter Moretti

Lo siento, escribí

g_{i j} > 0

$g_{ij}>0$ pero obviamente quería escribir

g_{i i} > 0

$g_{ii}>0$ ... Para construir su foliación en realidad solo debe requerir eso

g_{00} < 0

$g_{00}<0$ Y

g_{00} < 0

$g_{00}<0$ . El primero dice que

\partial_{x^{0}}

$\partial_{x^0}$ es temporal, este último dice que la métrica en las superficies a constante

x^{0}

$x^0$ es euclidiana.

Valter Moretti

Lo siento de nuevo, después de AND arriba, la desigualdad correcta es

g^{00} < 0

$g^{00}<0$ .

ryan unger

@ValterMoretti ¿Por qué

g^{- 1} (d x^{0}, d x^{0}) < 0

$g^{-1}(dx^0,dx^0)<0$ implicar

[x^{0} = C]

$[x^0=C]$ es espacial? ¿No necesitamos demostrar que lo normal es temporal, es decir,

g (grad x^{0}, grad x^{0}) < 0

$g(\text{grad}\,x^0,\text{grad}\,x^0)<0$ ? (Tal vez estos son equivalentes y estoy siendo tonto).

Valter Moretti

d x^{0}

$dx^0$ es la forma covariante del vector normal a la superficie a constante

x^{0}

$x^0$ . Con nuestra forma de la métrica, si este vector es temporal, todo vector normal a él es espacial.

ryan unger

@ValterMoretti Ok, es cierto que

g (X, Y) = g^{- 1} (X^{♭}, Y^{♭})

$g(X,Y)=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat)$ , que es lo que quiero. ¡Muchas gracias!

Valter Moretti

Considere la superficie

f (x)

$f(x)$ = constante. Cualquier vector tangente

X

$X$ a que satisfaga

< d f, X >= 0

$<df, X> =0$ y viceversa. Si

F

$F$ es la forma contravariante de

d f

$df$ , la identidad anterior se puede escribir de manera equivalente

g (F, X) = 0

$g(F,X)=0$ . Aquí es evidente que

F

$F$ es el vector normal a la superficie y

d f

$df$ su forma covariante. Usar

f = x^{0}

$f= x^0$ ...

Valter Moretti

OK, lo obtuviste de otra ruta...

Respuestas (2)

¿Siempre es posible tener una coordenada horaria (local) en GR?

Comentario a la publicación (v2): Considere incluir su definición de 'local' y 'coordenada de tiempo' para mayor claridad.
Considere estudiar la formulación ADM de la Relatividad General. Siempre es posible elegir el indicador de difeomorfismo de modo que los grados de libertad de la Relatividad General estén descritos por la métrica espacial 3D $q_{ab}$ .
@Solenodon Paradoxus, debe asumir que el espacio-tiempo es globalmente hiperbólico para probar la existencia de la foliación que menciona. La respuesta proporcionada por Ocelo7 a continuación es completamente local y no necesita hipótesis globales, es válida también para espaciotiempos patológicos donde no existen foliaciones espaciales globales.
@ValterMoretti No estoy de acuerdo, siempre puedes considerar una foliación de algún parche de coordenadas local.
Sí, tiene razón, pero la prueba es un refinamiento de la que se describe a continuación.
@SolenodonParadoxus Entonces, ¿es cierto que cualquier punto está contenido en un conjunto hiperbólico global (posiblemente pequeño)? Si conoces esa prueba, eso es de mi interés.
En realidad no lo sé, lo siento. Si el espacio-tiempo es fuertemente causal, creo que los conos dobles suficientemente pequeños $I^+(p) \cap I^-(q)$ incluidos en vecindades geodésicamente convexas deben ser globalmente hiperbólicos. Sin embargo, utilicé esta maquinaria hace varios años y mi sentimiento podría ser engañoso en la actualidad. Probablemente, una mirada al libro de Beem-Eherlich-Easley podría ser útil. Por el procedimiento en la auto-respuesta de Ocelo7 se puede construir una foliación local de superficies espaciales, pero nada asegura que estas sean superficies (locales) de Cauchy.
@ValterMoretti Para lo que quiero, es suficiente tener una foliación local de superficies espaciales. Creo que lo que quiero es tomar las superficies. $[x^0=\text{const.}]$ a continuación, pero por mi vida no puedo probar que estos son similares al espacio.
Es fácil. Fijar una base minkowskiana en $T_pM$ luego considere las coordenadas normales geodésicas centradas en $p$ . exactamente en $p$ la métrica es la métrica de Minkowski de modo que $g_{00} <0$ , $g_{ij} >0$ y $g^{00}<0$ . Estas condiciones quedan satisfechas en un barrio de $p$ porque las funciones involucradas son continuas. La condición $g^{-1}(dx^0,dx^0)= g^{00}<0$ significa que las superficies en $x^0=$ las constantes son como el espacio...
Lo siento, escribí $g_{ij}>0$ pero obviamente quería escribir $g_{ii}>0$ ... Para construir su foliación en realidad solo debe requerir eso $g_{00}<0$ Y $g_{00}<0$ . El primero dice que $\partial_{x^0}$ es temporal, este último dice que la métrica en las superficies a constante $x^0$ es euclidiana.
Lo siento de nuevo, después de AND arriba, la desigualdad correcta es $g^{00}<0$ .
@ValterMoretti ¿Por qué $g^{-1}(dx^0,dx^0)<0$ implicar $[x^0=C]$ es espacial? ¿No necesitamos demostrar que lo normal es temporal, es decir, $g(\text{grad}\,x^0,\text{grad}\,x^0)<0$ ? (Tal vez estos son equivalentes y estoy siendo tonto).
$dx^0$ es la forma covariante del vector normal a la superficie a constante $x^0$ . Con nuestra forma de la métrica, si este vector es temporal, todo vector normal a él es espacial.
@ValterMoretti Ok, es cierto que $g(X,Y)=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat)$ , que es lo que quiero. ¡Muchas gracias!
Considere la superficie $f(x)$ = constante. Cualquier vector tangente $X$ a que satisfaga $<df, X> =0$ y viceversa. Si $F$ es la forma contravariante de $df$ , la identidad anterior se puede escribir de manera equivalente $g(F,X)=0$ . Aquí es evidente que $F$ es el vector normal a la superficie y $df$ su forma covariante. Usar $f= x^0$ ...

ryan unger · Answer 1

Dejar $(M^{n+1},g)$ sea una variedad lorentziana. Dado $p\in M$ , mostraremos que existe un sistema de coordenadas $(x^\mu)$ definido en un conjunto abierto $p\in U\subset M$ tal que $\partial_0$ es un campo vectorial temporal, y $\partial_i$ son campos vectoriales espaciales para $i=1,\dotsc,n$ .

Dejar $(x^\mu)$ ser un gráfico arbitrario definido en $U\ni p$ . Se sabe que $T_pM$ es el lapso de $\{\partial_0,\partial_1,\dotsc,\partial_n\}$ . Como $g_p$ tiene firma $(-,+,\dotsc,+)$ , podemos encontrar vectores linealmente independientes $v_\mu$ , $\mu=0,1,\dotsc,n$ , tal que $g_p(v_0,v_0)=-1,$ $g_p(v_i,v_i)=+1$ . Estos vectores son combinaciones lineales de $\{\partial_0,\partial_1,\dotsc,\partial_n\}$ . Por un cambio lineal de coordenadas, podemos encontrar un sistema de coordenadas $(y^\mu)$ tal que $\partial/\partial y^\mu=\partial_\mu'=v_\mu$ en $p$ . Por continuidad, hay un barrio. $V_0\subset U$ de $p$ tal que $g(\partial_0',\partial_0')<0$ , es decir, $\partial_0'$ es temporal en $V_0$ . Del mismo modo, existen barrios $V_i$ tal que $g(\partial_i',\partial_i')>0$ en $V_i$ . Nosotros tomamos $V=V_0\cap\cdots \cap V_n$ , que es un barrio de $p$ . Al cambiar cada valor de coordenada por una constante, podemos ajustar el origen sin cambiar los campos vectoriales mencionados anteriormente. Entonces $(y^\mu)$ es el sistema de coordenadas deseado en $V$ .

Colin MacLaurin · Answer 2

Por coordenada de tiempo quiero decir que las líneas de coordenadas de tiempo deben tener vectores tangentes de tipo temporal, y de manera similar con coordenadas de tipo espacial.

Este es un concepto erróneo común, que ilustraré usando el habitual $r$ -coordenada en el espacio-tiempo de Schwarzschild-Droste. En coordenadas de Schwarzschild-Droste, el $r$ -el vector de coordenadas tiene componentes $(0,1,0,0)$ , que puedes mostrar es espacial para $r>2M$ y oportuno para $r<2M$ . En Gullstrand-Painleve coordina el $r$ -el vector de coordenadas tiene las componentes $(0,1,0,0)$ en estas diferentes coordenadas , ¡¡y es como el espacio en todas partes!! Pero este no es el mismo vector que antes: solo aplique la ley de transformación habitual para componentes vectoriales. Esto es a pesar de que el $r$ -la coordenada misma es idéntica en ambos casos; lo que quiero decir con idéntico, al menos en esta oración, es que puedes pensar en $r$ como un escalar en la variedad (ignorando $r=2M$ si lo desea), y son el mismo escalar.

Por lo tanto, la definición técnica es en términos de hipersuperficies $r=\textrm{const}$ . Uno puede mostrar que todo se reduce al signo del componente. $g^{rr}$ de la métrica inversa, que es $1-2M/r$ en todos los casos. Por eso $r$ es espacial para $r>2M$ , temporal para $r<2M$ , y nulo para $r=2M$ (este último no está definido en el caso de las coordenadas de Schwarzschild-Droste). Si la métrica es diagonal en algún sistema de coordenadas dado, entonces $g^{rr}=g_{rr}^{-1}$ por lo que la naturaleza de los vectores de coordenadas coincide, por lo que está claro de dónde proviene el concepto erróneo.

Por cierto, en una nota separada, es posible tener las 4 coordenadas temporales, las 4 nulas, etc. Al menos localmente, consulte Nawarajan & Visser 2016 , sección 6.

¿Siempre es posible tener una coordenada horaria (local) en GR?

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Colin MacLaurin

Interpretación de Coordenadas Normales

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Construyendo vielbein a partir de una métrica dada: ejemplo: coordenadas esféricas 2D

Símbolo de Christoffel en el marco inercial local

Punto de vista geométrico de las restricciones armónicas (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) en Relatividad General

Grado de libertad de coordenadas para establecer componentes métricos a lo largo de una ruta de espacio-tiempo

¿Cuándo y dónde comprobar la definición formal de variedad?

Aclarar qué métrica cuenta como espacio plano