¿Cuándo y dónde comprobar la definición formal de variedad?

En la mayoría de los textos sobre GR, primero se nos presenta una definición formal y rigurosa de variedad.

Luego aprendemos el punto de que en GR "cualquier sistema de coordenadas" podría usarse para la métrica de espacio-tiempo 4D. La ecuación de Einstein que relaciona la curvatura y la energía es invariable independientemente de la ley de transformación del tensor. Dicho de otra manera, no estamos limitados solo a las transformaciones lineales de Lorentz como en SR, por lo tanto, GR es de hecho la teoría general de la relatividad.

Pero no he visto ejemplos en los textos GR en los que se utilice explícitamente la definición rigurosa de la variedad, es decir, que debe haber gráficos uniformes en un atlas que cubra toda la variedad cada vez que introducimos un nuevo sistema de coordenadas.

La pregunta es ¿cuándo y dónde hay que comprobar esto y no se cuenta con un sentido intuitivo?

¿O puede sugerir un ejemplo en el que construimos un nuevo sistema de coordenadas arbitrarias y la variedad completa no se puede cubrir a través de un atlas máximo?

¿Deberíamos alarmarnos acerca de la violación de la definición de la variedad solo cuando vemos singularidades métricas en todos los posibles sistemas de coordenadas candidatos, por ejemplo, en el Big Bang o dentro de un agujero negro?

Tu pregunta no tiene sentido para mí. Cuando GR se realiza en un solo sistema de coordenadas, entonces la afirmación es simplemente que la "variedad" es la variedad definida por ese gráfico . Cuando la afirmación es que la variedad total no se puede cubrir en un gráfico (p. ej., esferas), entonces debe proporcionar un atlas para la variedad completa (en el caso de las esferas, puede elegir, por ejemplo, las dos proyecciones estereográficas). ¿Puede quizás dar un ejemplo de un caso en el que cree que este "control" del que está hablando no se ha realizado, pero debería realizarse?
Mi punto: se introduce una definición rigurosa para la variedad. Esto proporciona, entonces, una completa libertad para mezclar el espacio-tiempo en coordenadas cartesianas o polares. Pero nunca volvemos a verificar esa definición en los textos GR. Estoy interesado en ejemplos de métricas GR que muestren que la definición múltiple se descompone. Por ejemplo, ¿podemos mostrar que el Big Bang no está en la variedad o que no podemos encontrar un atlas para cubrir ese punto en el espacio-tiempo?
Tengo problemas para averiguar qué querría el OP como respuesta a esta pregunta, porque no está claro qué descartan. En la pregunta, parecen descartar el big bang y los agujeros negros, pero en un comentario dan el big bang como ejemplo de algo que les gustaría abordar.

Respuestas (1)

Existencia de estructuras lisas.

Estás preguntando cuándo una variedad (topológica) METRO no pueden ser cubiertos por un atlas suave. Otra forma de expresar esto es "cuándo una variedad admite una estructura suave".

Este es un problema bien estudiado. Resulta que los ejemplos de variedades que no admiten estructuras suaves solo ocurren en dimensiones ≥ 4 (ver, por ejemplo, estructuras diferenciales, wikipedia ). En particular, no puede encontrar una variedad en dimensión < 4 que no admite una estructura lisa.

¿Por qué el espacio-tiempo siempre es fluido?

Hasta donde yo sé, los ejemplos de variedades que no admiten estructuras suaves no aparecen en la relatividad general. Este es el por qué:

En relatividad general, resuelves las ecuaciones de Einstein en algún vecindario homeomorfo a un subconjunto de R norte (posiblemente con identificaciones periódicas simples), luego llame a una subvariedad de ese vecindario donde la solución se comporta bien nuestro espacio-tiempo. Por lo tanto, nuestro espacio-tiempo hereda una estructura suave de la incrustación en R norte .

Para toda variedad con un C 1 estructura, existe una estructura suave compatible en esa variedad. Por tanto, sólo estrictamente C 0 las variedades no admiten uno, y esos no tienen un paquete tangente bien definido, que es necesario para un espacio-tiempo.
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