Integrar ∫sin2xcos4xdx∫sin2⁡xcos⁡4xdx\int\sin^2x\cos4x\,dx

Pista: $\sin^2(x)\cos(4x)$es una función par, por lo que tiene una serie de coseno de Fourier que implica$\cos(nx)$para$n\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$. Para cualquier$n\in\mathbb{N}$,

$$\int \cos(nx)\,dx = C+\frac{\sin(nx)}{n}.$$ De hecho: $$\sin^2(x)\cos(4x) = -\frac{1}{4}\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)-\frac{1}{4}\cos(6x).$$ ¿Puedes terminar desde aquí?

Usa el hecho de que$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$, entonces$\sin^2 x = \frac{1 - \cos {2x}}{2}$

Reemplácelo en su integral y será fácil después de dividirlo en algunos triviales. eso tambien lo tendras que usar$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$

Si prefiere hacer esto con integración parcial, puede usar el hecho de que$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$y usando$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$también obtendrías dos integrales fáciles.

$$\begin{align*} \sin^2 x \cos 4x &= \sin x (\sin x \cos 4x) \\ &= \frac{1}{2} \sin x (\sin 5x - \sin 3x) \\ &= \frac{1}{4}(\cos 4x - \cos 6x + \cos 4x - \cos 2x) \\ &= \frac{1}{2} \cos 4x - \frac{1}{4} \cos 6x - \frac{1}{4} \cos 2x. \end{align*}$$

En consecuencia, obtenemos de inmediato y bastante trivialmente

$$\int \sin^2 x \cos 4x \, dx = \frac{1}{8} \sin 4x - \frac{1}{24} \sin 6x - \frac{1}{8} \sin 2x + C.$$

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Alternativamente, observe

$$\begin{align*} \sin^2 x \cos 4x &= \sin^2 x (\cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x) \\ &= \cos 3x \sin^2 x \cos x - \sin 3x \sin^3 x \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{d}{dx}\left[\sin^3 x\right] \cos 3x + \frac{d}{dx} \left[ \cos 3x \right] \sin^3 x \right) \\ &= \frac{1}{3} \frac{d}{dx}\left[\cos 3x \sin^3 x\right], \end{align*}$$ el último paso debido a la regla del producto aplicada a las funciones $\sin^3 x$y $\cos 3x$; de este modo $$\int \sin^2 x \cos 4x \, dx = \frac{1}{3} \cos 3x \sin^3 x + C.$$ Es bastante sencillo demostrar que estas antiderivadas son equivalentes.

Esta es la forma más directa de resolver este problema:

Darse cuenta de$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$

Entonces$\sin^2 x \cos 4x = \sin^2 (1-2\sin^2 2x) = \sin^2 [1-2(1-2\sin^2 x)^2] = -8\sin^6 x +8\sin^4 x -\sin^2 x$

Por fórmula de reducción : la integral se puede resolver fácilmente.

Las integrales de este tipo se pueden hacer utilizando algunas identidades útiles que son corolarios inmediatos de las fórmulas de suma de ángulos$\cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos (A+B)$y$\sin A \cos B+\cos A \sin B=\sin (A+B),$junto con$\sin (-A)=-\sin A$y$\cos (-A)=\cos A.$

Tenemos$\cos (A+B)=\cos A \cos B -\sin A \sin B\;,$y$\; \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B.$Sumando estos, tenemos

$$\cos (A+B)+\cos (A-B)=2\cos A \cos B.$$ restándolos, tenemos $$\cos (A+B)-\cos (A-B)=-\sin A \sin B.$$ Del mismo modo a partir de las fórmulas para $\sin (A\pm B)$tenemos $$\sin (A+B)+\sin (A-B)=2\sin A \cos B$$ y $$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A \sin B.$$ De las fórmulas de suma de ángulos, con $A=B$y de $\cos^2A+\sin^2A=1,$tenemos $$\sin^2 A=(1-\cos 2A)/2$$ y $$\cos^2 A=(1+\cos 2A)/2.$$ En particular $\sin^2 A \cos 4A=\frac {1}{2}(1-\cos 2A)\cos 4A=\frac {1}{2}(\cos 4A-\cos 2A\cos 4A)=\frac {1}{2}(\cos 4A-\frac {1}{2}(\cos 6A +\cos 2A)).$

Para mucho más de esto, vea Trigonometría, por Hobson. (Reimpresión de Dover Press).

Use las siguientes identidades trigonométricas para resolver esta pregunta,

$\sin^2x=(\frac{1-\cos2x}{2})$

&$\cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}$.

Dada la integración

$$I=\int \sin^2x\cos 4x\ dx$$ $$put\ \sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ $$I=\int \Big(\frac{1-\cos 2x}{2}\Big)\cos 4x\ dx$$ $$\Rightarrow I= \frac{1}{2}\int \Big(\cos 4x-\cos 2x \cdot \cos 4x\Big)dx$$ $$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\Big(\cos 4x-\frac{\cos(2x+4x)+\cos(2x-4x)}{2}\Big)dx$$ $$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\Big(\cos 4x-\frac{\cos 6x+cos(-2x)} {2}\Big)dx$$ $$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\Big(\cos 4x-\frac{\cos 6x+\cos2x} {2}\Big)dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \because \cos(-\theta)=\cos\theta$$ $$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int \cos 4x\ dx-\frac{1}{4}\int \cos 6x\ dx-\frac{1}{4}\int \cos 2x\ dx$$ $$\Rightarrow I=\frac{1}{2}×\frac{\sin 4x}{4}-\frac{1}{4}×\frac{\sin 6x}{6}-\frac{1}{4}×\frac{\sin 2x}{2}+c$$ $$\Rightarrow I=\frac{\sin 4x}{8}-\frac{\sin 6x}{24}-\frac{\sin 2x}{8}+c$$