Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

Question

Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

cálculo
integración
Matemáticas
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

clarinetista

Quisiera orientación sobre cómo evaluar

\int {broncearse}^{5} (X) d X .

$\displaystyle\int \tan^{5}(x)\text{ d}x\text{.}$ He intentado usar las identidades pitagóricas para obtener

\int {broncearse}^{5} (X) d X = \int broncearse (X) {[{segundo}^{2} (X) - 1]}^{2} d X .

$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \int \tan(x)\left[\sec^{2}(x)-1\right]^{2}\text{ d}x\text{.}$ Esto no parece útil. Así que pensé, ¿por qué no convertir solo UNO de los

\tan^{2}

$\tan^{2}$ términos a la

\sec^{2} - 1

$\sec^{2}-1$ ¿forma? Esto da

\int {broncearse}^{5} (X) d X = \int {broncearse}^{3} (X) {segundo}^{2} (X) d X - \int {broncearse}^{3} (X) d X .

$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \int\tan^{3}(x)\sec^{2}(x)\text{ d}x-\int \tan^{3}(x)\text{ d}x\text{.}$ Claramente el segundo término es

\frac{\tan^{4} (x)}{4}

$\dfrac{\tan^{4}(x)}{4}$ (ignorando el término constante por ahora). Usando un truco similar,

\begin{aligned} \int {broncearse}^{3} (X) d X & = \int broncearse (X) {segundo}^{2} (X) d X - \int broncearse (X) d X \\ = \frac{{broncearse}^{2} (X)}{2} - (- 1) en | porque (X) | \\ = \frac{{broncearse}^{2} (X)}{2} + en | porque (X) | . \end{aligned}

$\begin{align} \int\tan^{3}(x)\text{ d}x &= \int \tan(x)\sec^{2}(x)\text{ d}x-\int\tan(x)\text{ d}x \\ &= \dfrac{\tan^{2}(x)}{2} - (-1)\ln|\cos(x)| \\ &= \dfrac{\tan^{2}(x)}{2}+\ln|\cos(x)|\text{.} \end{align}$ Entonces esto me sugiere que

\int {broncearse}^{5} (X) d X = \frac{{broncearse}^{4} (X)}{4} - \frac{{broncearse}^{2} (X)}{2} - en | porque (X) | + C .

$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \dfrac{\tan^{4}(x)}{4} - \dfrac{\tan^{2}(x)}{2}-\ln|\cos(x)| + C\text{.}$ Pero la respuesta en Stewart (sección 7.2., #31) es

\frac{1}{4} {segundo}^{4} (X) - {broncearse}^{2} (X) + en | segundo (X) | + C .

$\dfrac{1}{4}\sec^{4}(x)-\tan^{2}(x)+\ln|\sec(x)|+C\text{.}$ Está muy claro dónde está el

\ln | \sec (x) |

$\ln|\sec(x)|$ proviene del término, y traté de tomar la diferencia de mi respuesta y la respuesta de Stewart usando Wolfram Alpha y, desafortunadamente, la diferencia no es una constante.

¿Qué hice mal?

mjqxxxx

La diferencia es una constante.

(\tan^{4} (x) / 4 - \tan^{2} (x) / 2) - (\sec^{4} (x) / 4 - \tan^{2} (x)) = - 1 / 4

$(\tan^4(x)/4 - \tan^2(x)/2) - (\sec^4(x)/4 - \tan^2(x))=-1/4$ ( wolframalpha.com/input/… ), y como dijiste, está claro que

\log | \sec (x) | = - \log | \cos (x) |

$\log|\sec(x)|=-\log|\cos(x)|$ .

mjqxxxx

Dejó los signos de valor absoluto cuando ingresó la expresión en Wolfram Alpha.

clarinetista

@mjqxxxx - ¡Gracias!

Respuestas (5)

Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

La diferencia es una constante. $(\tan^4(x)/4 - \tan^2(x)/2) - (\sec^4(x)/4 - \tan^2(x))=-1/4$ ( wolframalpha.com/input/… ), y como dijiste, está claro que $\log|\sec(x)|=-\log|\cos(x)|$ .
Dejó los signos de valor absoluto cuando ingresó la expresión en Wolfram Alpha.

apnorton · Answer 1

Respuesta corta: las respuestas son equivalentes, no tienes de qué preocuparte. :)

Respuesta larga :

\begin{aligned} \frac{{broncearse}^{4} X}{4} - \frac{{broncearse}^{2} X}{2} & = \frac{{broncearse}^{4} X + 2 {broncearse}^{2} X}{4} - {broncearse}^{2} X \\ = \frac{{segundo}^{4} X - 1}{4} - {broncearse}^{2} X \\ = \frac{{segundo}^{4} X}{4} - {broncearse}^{2} X + C \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} &= \frac{\tan^4 x + 2\tan^2 x}{4} - \tan^2 x\\ &= \frac{\sec^4 x- 1}{4} - \tan^2 x\\ &= \frac{\sec^4x}{4} - \tan^2 x + C \end{align}$

Imranfat · Answer 2

Tu respuesta es correcta. Tenemos $\tan^2x=\sec^2x-1$ entonces $\tan^4x=\sec^4x-2\sec^2x+1$ . reemplazando tu $\tan^4x$ en consecuencia da $\frac14\sec^4x-\frac12\sec^2x+\frac14.$ reemplazando eso $\sec^2x$ con $\tan^2x+1$ da como resultado la solución de Stewart. Sin embargo, las respuestas difieren en alguna constante.

clatratus · Answer 3

Aquí está la derivación de una fórmula que podría serle de alguna ayuda. Dejar $n>1$ sea un número entero.

Considere la integral

I_{norte} = \int {broncearse}^{norte} X d X

$I_n=\int\tan^nx\ dx$

I_{norte} = \int {broncearse}^{norte - 2} X {broncearse}^{2} X d X

$I_n=\int\tan^{n-2}x\tan^2x\ dx$

I_{norte} = \int {broncearse}^{norte - 2} X ({segundo}^{2} X - 1) d X

$I_n=\int\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)dx$

I_{norte} = \int {broncearse}^{norte - 2} X {segundo}^{2} X d X - \int {broncearse}^{norte - 2} X d X

$I_n=\int\tan^{n-2}x\sec^2x\ dx-\int\tan^{n-2}x\ dx$

I_{norte} = \int {broncearse}^{norte - 2} X {segundo}^{2} X d X - I_{norte - 2}

$I_n=\int\tan^{n-2}x\sec^2x\ dx-I_{n-2}$ Sustitución:

tu = broncearse X \Rightarrow d tu = {segundo}^{2} X d X

$u=\tan x\Rightarrow du=\sec^2x\ dx$

\Rightarrow I_{norte} = \int {tu}^{norte - 2} d tu - I_{norte - 2}

$\Rightarrow I_n=\int u^{n-2}du-I_{n-2}$

I_{norte} = \frac{{tu}^{norte - 1}}{norte - 1} - I_{norte - 2}

$I_n=\frac{u^{n-1}}{n-1}-I_{n-2}$

I_{norte} = \frac{{broncearse}^{norte - 1} X}{norte - 1} - I_{norte - 2}

$I_n=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}$

\int {broncearse}^{norte} X d X = \frac{{broncearse}^{norte - 1} X}{norte - 1} - \int {broncearse}^{norte - 2} X d X

$\int\tan^nx\ dx=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}x\ dx$

bouzari abdelkader · Answer 4

z = broncearse X \Rightarrow d z = (z^{2} + 1) d X z^{5} = (z^{2} + 1) (z^{3} - z) + z \int z^{5} d X = \int (z^{3} - z) d z + \int z d X = \frac{z^{4}}{4} - \frac{z^{2}}{2} + \int z d X \int {broncearse}^{5} X d X = \frac{{broncearse}^{4} X}{4} - \frac{{broncearse}^{2} X}{2} - en | porque X | + C

$z=\tan{x}\Rightarrow dz=(z^{2}+1)dx\\ z^{5}=(z^{2}+1)(z^{3}-z)+z\\ \displaystyle \int z^{5}dx=\int(z^{3}-z)dz+\int zdx=\frac{z^{4}}{4}-\frac{z^{2}}{2}+\int zdx \\ \displaystyle \int \tan^{5}{x}dx=\frac{\tan^{4}{x}}{4}-\frac{\tan^{2}{x}}{2}-\ln\left| \cos{x} \right|+c$

GEdgar · Answer 5

Hay una manera fácil de evaluar $\int \sin^n(x)\cos^m(x)\,dx$ cuando al menos uno de $n,m$ es impar. Decir $n$ es impar. Entonces mantenga un factor de $\sin$ y convertir todo el resto a $\cos$ , y sustituir $u=\cos x, du=-\sin x\,dx$ .

Aquí está este caso ( $n=5,m=-5$ ):

\begin{aligned} \int {broncearse}^{5} X d X & = \int \frac{{pecado}^{5} X}{{porque}^{5} X} d X = \int \frac{(pecado X) ({pecado}^{2} X)^{2}}{{porque}^{5} X} d X \\ = \int \frac{(pecado X) (1 - {porque}^{2} X)^{2}}{{porque}^{5} X} d X = - \int \frac{(1 - {tu}^{2})^{2}}{{tu}^{5}} d X \\ = - \int \frac{d tu}{tu} + 2 \int \frac{d tu}{{tu}^{3}} - \int \frac{d tu}{{tu}^{5}} = - registro (tu) - \frac{1}{{tu}^{2}} + \frac{1}{4 {tu}^{4}} + C \\ = - registro (porque X) - \frac{1}{{porque}^{2} X} + \frac{1}{4 {porque}^{4} X} + C \end{aligned}

$\begin{align} \int\tan^5 x\,dx &= \int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\,dx = \int\frac{(\sin x)(\sin^2 x)^2}{\cos^5 x}\,dx \\ &= \int\frac{(\sin x)(1-\cos^2 x)^2}{\cos^5 x}\,dx = -\int \frac{(1-u^2)^2}{u^5}\,dx \\ &= -\int\frac{du}{u}+2\int\frac{du}{u^3}-\int\frac{du}{u^5} = -\log(u) -\frac{1}{u^2}+\frac{1}{4u^4}+C \\ &= -\log(\cos x) - \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{4\cos^4 x}+C \end{align}$

Nota: escribí $\log(\cos x)$ y no $\log|\cos x|$ . El mío es correcto incluso en caso de que $x$ es una variable compleja. Si $\cos x < 0$ , entonces $C$ puede ser una constante compleja si desea que su respuesta sea real para $x$ real.

Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

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atascado al inicio del problema de integración