Integral ∫cos(x)+sin(2x)sin(x) dx∫cos⁡(x)+sin⁡(2x)sin⁡(x) dx\int \frac{\cos(x)+\sin(2x) }{\sin(x)}\text{ d}x

me gustaria evaluar

∫ porque ⁡ ( X ) + pecado ⁡ ( 2 X ) pecado ⁡ ( X )  d X .

Esto es del texto de Cálculo de Stewart, sección 7.2., #19. Tenga en cuenta que no tengo un manual de soluciones y no estoy interesado en una solución completa.

Simplemente me gustaría alguna orientación sobre un primer paso para abordar este, ya que he resuelto correctamente 9 problemas similares, y me topé con una pared de ladrillos en este. Mi primer pensamiento fue quizás dividir la fracción así:

∫ cuna ⁡ ( X )  d X + ∫ pecado ⁡ ( 2 X ) pecado ⁡ ( X )  d X
pero esto no parece útil.

pista : pecado ⁡ ( 2 X ) = 2 pecado ⁡ ( X ) porque ⁡ ( X )
Un consejo para resolver integrales que tienen seno o coseno o alguna función trigonométrica es usar un montón de identidades

Respuestas (1)

Sustituyendo usando la identidad de doble ángulo

pecado ⁡ ( 2 X ) = 2 pecado ⁡ X porque ⁡ X
transformará el integrando en una expresión que implica sólo pecado ⁡ X y porque ⁡ X , lo que sugiere una sustitución particular.

Ni siquiera necesita una sustitución: después de usar la fórmula de doble ángulo, separe el integrando en dos fracciones, cada una fácilmente integrable.
@Lubin Bueno, la integral de cuna ⁡ X no es tan fácil de recordar. Normalmente reconozco el integrando como de la forma ( pecado ⁡ X ) ′ pecado ⁡ X , pero eso es básicamente equivalente a sustituir tu = pecado ⁡ X .
@Lubin Tienes toda la razón, por supuesto, pero cuando un estudiante se encuentra por primera vez con este tipo de integral, es posible que solo haya visto integrandos que involucran pecado y porque y, en particular, es posible que aún no haya visto cómo manejar ∫ cuna ⁡ X d X .
@Travis - Gracias por tu sugerencia. Me gradué recientemente de matemáticas y estoy estudiando para el examen de Matemáticas GRE y quiero mantener la memorización al mínimo, así que agradezco su respuesta.
Oh, lo siento, soy demasiado viejo. Pensé que la integral de la tangente era bien conocida, por lo que sigue la cotangente (más o menos).
@Lubin Creo que es bien conocido por todos los que han aprendido cálculo, pero puede que no sea obvio para las personas que recién están aprendiendo sobre integrales trigonométricas.
Integral ∫cos(x)+sin(2x)sin(x) dx∫cos⁡(x)+sin⁡(2x)sin⁡(x) dx\int \frac{\cos(x)+\sin(2x) }{\sin(x)}\text{ d}x
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v