Ayuda para evaluar ∫ cos2(arctan(sin(arccot(x)))) dx∫ cos2⁡(arctan⁡(sin⁡(arccot(x)))) dx\displaystyle\int\ \cos^2\Big(\arctan \big(\sin\left(\text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x

Question

Ayuda para evaluar ∫ cos2(arctan(sin(arccot(x)))) dx∫ cos2⁡(arctan⁡(sin⁡(arccot(x)))) dx\displaystyle\int\ \cos^2\Big(\arctan \big(\sin\left(\text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x

cálculo
integración
Matemáticas
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

Enrique M.

¿Hay una manera fácil de probar este resultado?

$\int {porque}^{2} (arcán (pecado (arccot (X)))) d X = X - \frac{1}{\sqrt{2}} arcán (\frac{X}{\sqrt{2}})$ $\int\ \cos^2\Big(\arctan\big(\sin\left( \text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x = x - \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$

Probé algunas sustituciones pero no obtuve nada útil, como:

$x = \cot (z)$

También probé el loco:

$x = \cot(\arcsin(\tan(\arccos(z))))$

¿Alguna pista?

¡Gracias!

Pedro

Primera pista:

\sin (a r c c o t (x)) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\sin(arccot(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (para positivo

x

$x$ ).

Sean Roberson

Dibujar triángulos realmente ayuda.

b00n él

Esto realmente parece la consecuencia de una serie de identidades trigonométricas, más que alguna técnica de integración particular.

Pedro

Segunda pista:

\cos (\arctan (x)) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Michael Hardy

@Peter: ¿Podría escribir

\cos (\arctan (x))

$\cos(\arctan(x))$ en lugar de

\cos (a r c t a n (x))

$\cos(arctan(x))$ . Este último no tiene el espacio adecuado en cosas como

a \arctan b

$a\arctan b$ o

a \arctan (b)

$a\arctan(b)$ (e incluyo ambos ejemplos para que pueda ver la naturaleza dependiente del contexto del espaciado.

$\qquad$

Respuestas (5)

Ayuda para evaluar ∫ cos2(arctan(sin(arccot(x)))) dx∫ cos2⁡(arctan⁡(sin⁡(arccot(x)))) dx\displaystyle\int\ \cos^2\Big(\arctan \big(\sin\left(\text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x

Primera pista: $\sin(arccot(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (para positivo $x$ ).
Esto realmente parece la consecuencia de una serie de identidades trigonométricas, más que alguna técnica de integración particular.
@Peter: ¿Podría escribir $\cos(\arctan(x))$ en lugar de $\cos(arctan(x))$ . Este último no tiene el espacio adecuado en cosas como $a\arctan b$ o $a\arctan(b)$ (e incluyo ambos ejemplos para que pueda ver la naturaleza dependiente del contexto del espaciado. $\qquad$

doug m · Answer 1

$\alpha = \cot^{-1} x\\ \beta = \tan^{-1} (\sin \alpha)$

Use identidades trigonométricas para encontrar $\csc \alpha$ y $\sin \alpha$

$\sin\alpha = \tan \beta$

Usa identidades similares para encontrar $\sec \beta$ y $\cos\beta$

Michael Hardy · Answer 2

Como se menciona en los comentarios, dibuja los triángulos. Tienes

\frac{X}{1} = X = cuna θ = \frac{adyacente}{opuesto}

$\frac x 1 = x = \cot\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}$ así que si tienes un triángulo en el que

opposite = 1

$\text{opposite}=1$ y

adjacent = x

$\text{adjacent} = x$ entonces tiene

hypotenuse = \sqrt{x^{2} + 1}

$\text{hypotenuse} = \sqrt{x^2+1}$ y entonces

pecado θ = \frac{opuesto}{hipotenusa} = \frac{1}{\sqrt{X^{2} + 1}}

$\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac 1 {\sqrt{x^2+1}}$ entonces

pecado arccot X = \frac{1}{\sqrt{X^{2} + 1}} .

$\sin\operatorname{arccot} x = \frac 1 {\sqrt{x^2+1}}.$ Luego haz algo similar con el coseno del arcotangente.

amarildo · Answer 3

PISTA:

porque (arcán (X)) = \frac{\sqrt{1 + X^{2}}}{1 + X^{2}}

$\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$ Entonces

\begin{aligned} \int {(porque (arcán (pecado (arccot (X)))))}^{2} d X \\ = \int \frac{X^{2} + 1}{X^{2} + 2} d X \\ = \frac{\sqrt{2} X - arcán (\frac{\sqrt{2} X}{2})}{\sqrt{2}} + C \end{aligned}

$\begin{align} \\& \int \:\left(\cos \left(\arctan \left(\sin \left(\operatorname{arccot}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)^2dx \\& = \int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx \\& = \color{red}{\frac{\sqrt{2}x-\arctan \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)}{\sqrt{2}}+C} \end{align}$

davidnueve · Answer 4

Después de usar la trigonometría, debería poder obtener

porque (arcán (pecado (arccot (X)))) = \sqrt{1 - \frac{1}{X^{2} + 2}}

$\cos(\arctan(\sin( \text{arccot}(x)))) = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2+2}}$

A partir de ahí, asumiría que es solo un subproblema trigonométrico.

A partir de ahí es realmente trivial. Ahora tengo curiosidad por obtener esa identidad. ¡Gracias!
Bueno, haré la mitad, el resto se hace de una manera muy similar. Dejar $\theta = \text{arccot}(x)$ , entonces $\cot(\theta) = x$ , y por lo tanto usando triángulos rectángulos tenemos $\sin(\theta) = \sqrt{1+x^2}$ .

René Schipperus · Answer 5

La integral es igual a

\int 1 - \frac{1}{2 + X^{2}} d X

$\int 1-\frac{1}{2+x^2} \, dx$ esto ahora es fácil de integrar.

Eso está bien, pero ¿puedes probar esta identidad? ¿Es válido para todos? $x$ ?
@FourierTransform Sí, por ejemplo $\cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2x}$ , esto elimina la primera iteración, la segunda es similar.

Ayuda para evaluar ∫ cos2(arctan(sin(arccot(x)))) dx∫ cos2⁡(arctan⁡(sin⁡(arccot(x)))) dx\displaystyle\int\ \cos^2\Big(\arctan \big(\sin\left(\text{arccot}(x)\right)\big)\Big)\ \text{d}x

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René Schipperus

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Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

Integrar ∫sin(2x)(senx+cosx)2dx∫sin⁡(2x)(sin⁡x+cos⁡x)2dx\int \frac {\sin (2x)}{(\sin x+\cos x)^2 }\,dx

Cómo evaluar ∫tan3/2(x)1−sin(x)dx∫tan3/2⁡(x)1−sin⁡(x)dx\int \frac{\tan^{3/2}\left(x) \right)}{1 - \sin\left(x\right)} \,\mathrm{d}x?

Integral ∫cos(x)+sin(2x)sin(x) dx∫cos⁡(x)+sin⁡(2x)sin⁡(x) dx\int \frac{\cos(x)+\sin(2x) }{\sin(x)}\text{ d}x

Integral ∫tan5(x) dx∫tan5⁡(x) dx\int \tan^{5}(x)\text{ d}x

Integrar ∫sin2xcos4xdx∫sin2⁡xcos⁡4xdx\int\sin^2x\cos4x\,dx

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

atascado al inicio del problema de integración