¿Por qué el propagador es la función de Green para la ecuación de Schrödinger? [duplicar]

Question

¿Por qué el propagador es la función de Green para la ecuación de Schrödinger? [duplicar]

Física
propagador
greens-funciones
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
distribuciones-dirac-delta

Guillermo Huang

Sakurai dice (en varias ediciones) que el propagador es simplemente la función de Green para la ecuación de onda dependiente del tiempo que satisface

\begin{matrix} (2.5.12/2.6.12) & \begin{aligned} [- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} ▽^{″ 2} + V (X^{″}) - i h \frac{\partial}{\partial t}] k (X^{″}, t; X^{'}, t_{0}) \\ = & - i ℏ d^{3} (X^{″} - X^{'}) d (t - t_{0}) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)\cr =&-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)\end{align}\tag{2.5.12/2.6.12}$

con la condición de contorno

\begin{matrix} (2.5.13/2.6.13) & k (X^{″}, t; X^{'}, t_{0}) = 0 \end{matrix}

$K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0\tag{2.5.13/2.6.13}$

para $t<t_0$

no tengo ni idea de donde esta $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ de donde proviene el término, y el propagador debe ser igual a cero cuando $t<t_0$ .

una mente curiosa

...y tu pregunta es? Simplemente calcule el propagador y conéctelo allí, verá que efectivamente cumple con la ecuación (cuando toma las derivadas que se supone que producen las distribuciones de la manera correcta).

Guillermo Huang

He calculado e insertado el propagador en la ecuación, pero el resultado que obtuve fue 0, no

- i ℏ δ^{3} (x^{″} - x^{'}) δ (t - t_{0})

$-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .

una mente curiosa

Sí, esa es una confusión común. ¿Sabes cómo la

δ

$\delta$ sale para otras funciones de Green? Cómo la solución fundamental / función de Green da el delta y no cero es realmente más una pregunta matemática que física

Guillermo Huang

Sé dado un operador diferencial lineal

L

$\mathfrak{L}$ , una función de Green

G (x, s)

$G(x,s)$ es cualquier solución de

L G (x, s) = δ (x - s)

$\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Pero todavía no sé la relación entre el propagador y la función de Green.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/20797/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 , physics.stackexchange.com/q/65489/2451 y sus enlaces.

Respuestas (1)

¿Por qué el propagador es la función de Green para la ecuación de Schrödinger? [duplicar]

...y tu pregunta es? Simplemente calcule el propagador y conéctelo allí, verá que efectivamente cumple con la ecuación (cuando toma las derivadas que se supone que producen las distribuciones de la manera correcta).
He calculado e insertado el propagador en la ecuación, pero el resultado que obtuve fue 0, no $-i\hbar\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_0)$ .
Sí, esa es una confusión común. ¿Sabes cómo la $\delta$ sale para otras funciones de Green? Cómo la solución fundamental / función de Green da el delta y no cero es realmente más una pregunta matemática que física
Sé dado un operador diferencial lineal $\mathfrak{L}$ , una función de Green $G(x,s)$ es cualquier solución de $\mathfrak{L}G(x,s)=\delta (x-s)$ . Pero todavía no sé la relación entre el propagador y la función de Green.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/20797/2451 , physics.stackexchange.com/q/22639/2451 , physics.stackexchange.com/q/65489/2451 y sus enlaces.

Frobenius · Answer 1

Sugerencia: compruebe si esta ecuación de Schrödinger "modificada" se cumple con el propagador "modificado"

\begin{matrix} (01) & \tilde{k} (X^{″}, t; X^{'}, t_{0}) = θ (t - t_{0}) k (X^{″}, t; X^{'}, t_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \widetilde{K}(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0})=\theta(t-t_{0})\;K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0) \tag{01} \end{equation}$ dónde

θ (t - t_{0})

$\;\theta(t-t_{0})\;$ la función escalón unitario con propiedad

\begin{matrix} (02) & \frac{\partial θ (t - t_{0})}{\partial t} = \frac{d θ (t - t_{0})}{d t} = d (t - t_{0}) \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \theta (t-t_{0}) }{\partial t}=\dfrac{d \theta (t-t_{0}) }{d t}=\delta (t-t_{0}) \tag{02} \end{equation}$

Tenga en cuenta que

\begin{matrix} (03) & \frac{\partial \tilde{k}}{\partial t} = \frac{\partial (θ k)}{\partial t} = θ \frac{\partial k}{\partial t} + k \frac{\partial θ}{\partial t} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t} \tag{03} \end{equation}$ y^{$\begin{matrix} (04) & k \frac{\partial θ}{\partial t} = k (X^{″}, t; X^{'}, t_{0}) d (t - t_{0}) = k (X^{″}, t_{0}; X^{'}, t_{0}) d (t - t_{0}) = d^{3} (X^{″} - X^{'}) d (t - t_{0}) \end{matrix}$ $\begin{equation} K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0}) \tag{04} \end{equation}$}

pero donde $\delta ^3(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})$ ¿viene de?
@William Huang $\dfrac{\partial \widetilde{K}}{\partial t}=\dfrac{\partial (\theta K) }{\partial t}=\theta\;\dfrac{\partial K}{\partial t}+K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}$ $K\;\dfrac{\partial \theta }{\partial t}=K(\mathbf{x''},t \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=K(\mathbf{x''},t_{0} \; \boldsymbol{;} \;\mathbf{x'},t_{0}) \delta (t-t_{0})=\delta^{3}(\mathbf{x''}-\mathbf{x'})\delta (t-t_{0})$
Entonces el propagador "no modificado" satisfecho $\left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \triangledown ''^2+V(\mathbf{x''})-ih\frac{\partial }{\partial t}\right ]K(\mathbf{x''},t;\mathbf{x'},t_0)=0$ ? Y el propagador "no modificado" puede no ser igual a 0 cuando $t<t_0$ ?
Sí. Ver relacionado , y verifique los ejemplos explícitos elementales.

¿Por qué el propagador es la función de Green para la ecuación de Schrödinger? [duplicar]

Guillermo Huang

una mente curiosa

Guillermo Huang

una mente curiosa

Guillermo Huang

qmecanico

Respuestas (1)

Frobenius

Guillermo Huang

Frobenius

Guillermo Huang

Cosmas Zachos

¿Cómo es exactamente el propagador una función de Green para la ecuación de Schrödinger?

Delta de Dirac en la definición de la función de Green

Propagador en el mecanismo cuántico integral de trayectoria como función de Green de la ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger en términos de la ecuación de Fokker-Planck

La solución explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula libre que comienza como una función delta

¿Por qué la función de onda no es igual a 0 en el pico del potencial delta de Dirac, pero es 0 para los límites del pozo cuadrado infinito?

Pozo de potencial con 2 potenciales delta

difusión de partículas libres Función verde

Función de onda con potencial delta

La función Dirac-delta como estado inicial de la partícula libre cuántica