Función de onda con potencial delta

Con un potencial de función delta, la partícula está libre a ambos lados de la barrera:

$$\psi(x)=\begin{cases}\psi_L(x)=A_re^{ikx}+A_le^{-ikx} \\ \psi_R(x)=B_re^{ikx}+B_le^{-ikx}\end{cases}$$ dónde $A_i,\,B_i$son constantes tales que $A_r+A_l=B_r+B_l$(es decir, $\psi(x)$satisface la condición de función continua).

Pero en la barrera tenemos el problema de que$V(0)=\infty$. Entonces, para resolver este problema, usamos la ecuación de Schroedinger y la integramos en una región pequeña$\left[-\epsilon,\,\epsilon\right]$y luego deja$\epsilon\to0$:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi''\,dx+\int_{-\epsilon}^\epsilon V\psi\,dx=E\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi\,dx$$ El primer término es claramente $d\psi/dx$evaluada en dos puntos. El último término tiende a cero en el límite. $\epsilon\to0$(recordar que $E$es constante y finito, de modo que como $\epsilon\to0$, el ancho va a 0 y también lo hace el valor total).

Para el término potencial, la función delta tiene la gran propiedad de que

$$\int\delta(x-a)f(x)\,dx=f(a)$$ Así, ese término medio se convierte en $\left.\psi(x)\right|_{-\epsilon}^\epsilon$. Luego combinamos estos dos para obtener $$-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\psi'\left(+\epsilon\right)-\psi'(-\epsilon)\right]+\left.\lambda\psi(x)\right|_{-\epsilon}^{\epsilon}=0$$ Como $\epsilon\to0$, podemos obtener la relación que te confunde: $$\psi'_R(0)-\psi'_L(0)=+k\psi(0)$$

Vea esto , comenzando en "Se puede encontrar una segunda relación estudiando la derivada de la función de onda". Para tu problema,$\lambda = \hbar^2 k / 2 m$.

La idea es integrar la ecuación de Schrödinger en el intervalo$\left(-\epsilon, \epsilon\right)$y deja$\epsilon \rightarrow 0$.