Pozo de potencial con 2 potenciales delta

Tengo un problema para derivar la ecuación trascendental de las energías propias de los estados acotados para el potencial:

V ( X ) = { − λ d ( X + a / 4 ) − λ d ( a − a / 4 ) , | X | < a / 2 ∞ , | X | > a / 2  
Estoy familiarizado con la solución para el pozo potencial "clásico", donde comenzamos con ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 _es decir, con ψ i = A i mi k X + B i mi − k X . Así que dividimos el eje x en 3 áreas X < − a / 2 , − a / 2 < X < a / 2 , X > a / 2 y luego calcular los coeficientes. Pero, ¿cómo empezar cuando tenemos 2 funciones delta adicionales en nuestro potencial? Mi idea inicial era definir 5 áreas en el eje x, de modo que tengamos una función de onda definida por partes. ¿Cuál es el mejor enfoque para iniciar ese tipo de problema?

Entonces, descubrí que en realidad necesito 3 áreas, ya que es una rueda de potencial profundo infinito, por lo que no se permiten posiciones en el exterior. Pero me pregunto si la función de onda es continua en potenciales delta.

Respuestas (1)

El potencial infinito en las regiones exteriores. | X | > a / 2 significa que su función de onda debe ser cero allí. Eso te deja con el intervalo − a / 2 < X < a / 2 , que tiene dos deltas negativos en X = − a / 4 y X = a / 4 . Estos deltas dividen su intervalo en tres partes. El potencial es cero en estas tres partes, de modo que puede usar las soluciones de partículas libres que mencionó y hacer cumplir las condiciones de contorno habituales de continuidad de la función de onda en los puntos críticos. X = − a / 2 , X = − a / 4 , X = a / 4 y X = a / 2 (Tenga en cuenta que el requisito habitual de que la derivada de la función de onda sea continua no se aplica aquí, ya que estamos tratando con potenciales infinitos, y la derivada no necesita ser continua en puntos donde el potencial es infinito). Entonces sus condiciones de contorno deberían leer:

ψ 1 ( − a 2 ) = 0 ,

ψ 1 ( − a 4 ) = ψ 2 ( − a 4 ) ,

ψ 2 ( a 4 ) = ψ 3 ( a 4 ) ,

ψ 3 ( a 2 ) = 0

Son 4 ecuaciones para 4 de los 6 coeficientes indeterminados de tu solución. Se puede obtener uno adicional imponiendo la normalización: ∫ − a / 2 a / 2 | ψ ( X ) | 2 d X = 1 . Eso deja su solución en términos de un solo coeficiente indeterminado.

Para obtener la solución final, incluida la ecuación trascendental para mi , es esencial que realmente considere los efectos de los deltas (de lo contrario, terminará con una solución de partículas libres). La forma de hacerlo es integrar la ecuación de Schrödinger en un intervalo infinitesimal alrededor de los deltas. Es un procedimiento complicado y específico, pero si está resolviendo el potencial delta doble, asumo que ya ha resuelto al menos un potencial delta simple antes, por lo que probablemente lo haya visto antes. Si no es así, la entrada de wikipedia sobre Potencial Delta presenta una explicación decente. Entonces, al integrar alrededor de uno de los deltas, obtienes tu coeficiente final y, con la solución final en tus manos, integras alrededor del otro delta para obtener la ecuación (en este caso, trascendental) para E.

Bueno, en realidad solo mencionamos el potencial delta, este problema es de un par de años antes. Revisé Wiki y tengo una idea general... pero... Supongo que tengo que integrarme alrededor de los deltas de stand, ¿no solo uno?
Exacto, debes integrarte alrededor de ambos deltas; uno de ellos te dará una relación entre los coeficientes de tu solución (y podrás encontrar la última constante restante), y el otro te dará una ecuación para E.
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