¿Se utilizan funciones trigonométricas hiperbólicas para calcular órbitas hiperbólicas?

Las ecuaciones para la posición en una trayectoria hiperbólica contienen el seno, el coseno y la tangente hiperbólicos.

Una hipérbola se define por la ecuación:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Se puede describir mediante varias ecuaciones paramétricas:

Usando las funciones hiperbólicas de seno y coseno, (1), grafique cian:

$$\boxed{x = \pm a \cosh(t) \\y = b \sinh(t) \\ t\in\mathbb{R} }$$

Usando la función exponencial compleja, (2), trace magenta:

$$\boxed{z = c e^t + \overline{c} e^{-t} \\ c = \frac{a + i b}{2} \\ \overline{c} = \frac{a - i b}{2} \\ t\in\mathbb{R} }$$

Resolviendo la definición para x, (3), traza azul:

$$\boxed{x = a \sqrt{\frac{y^2}{b^2} + 1} \\ y\in\mathbb{R} }$$

Resolviendo la definición para y, (4), trazar verde:

$$\boxed{y = b \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} \\ x \geq a , x \leq -a }$$

Usando coseno y tangente, (5), traza amarillo:

$$\boxed{x = \frac{a} {\cos(t)} = a \sec(t) \\y = b \tan(t) \\ 0 \leq t \leq 2\pi \\ t \neq \frac{\pi}{2} , t \neq \frac{3\pi}{2} }$$

Usando una ecuación paramétrica racional, (6), trace en rojo:

$$\boxed{x = \pm a \frac{t^2 + 1}{2t} \\y = b \frac{t^2 - 1}{2t} \\ t\in\mathbb{R}, t > 0 }$$

Usando seno y coseno con argumentos complejos, (7), traza gris:

$$\boxed{z = a \cos(it) + b \sin(it) \\ t\in\mathbb{R} }$$

No encontré documentación sobre argumentos complejos para las funciones Python Numpy sin y cos, pero simplemente funciona perfectamente.

La ecuación (7) es similar a:

$$\boxed{z = a \cos(t) + ib \sin(t) \\ 0 \leq t \leq 2\pi }$$ se utiliza para calcular una elipse o un círculo.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math as math
#
def check(x,y,a,b,eps):
    a2 = np.square(a)
    b2 = np.square(b)
    res = np.square(x)/a2 - np.square(y)/b2
    test = True
    lowlim = 1.0-eps
    highlim = 1.0+eps
    for i in range(len(res)):
        if res[i] < lowlim or res[i] > highlim : test = False
    return test
#
omega = np.pi*0.5
steps = 15
#
# 1: using hyperbolic sine and cosine, plot cyan
a = 1.0
b = 1.0
eps = 1E-13
t1 = np.linspace(-omega, omega, steps)
x1 = a*np.cosh(t1)
y1 = b*np.sinh(t1)
plt.plot(x1, y1, color='c', marker="x")   
print('cosh sinh check ', check(x1, y1, a, b, eps))
#
# 2: using complex exponential function, plot magenta
a = 1.2
c = (a + b*1j)*0.5
ck = (a - b*1j)*0.5
z2 = c*np.exp(t1) + ck*np.exp(-t1)
plt.plot(np.real(z2), np.imag(z2), color='m', marker="x")   
print('complex exp check ', check(np.real(z2), np.imag(z2), a, b, eps))
#
# 3: solving equation for x, plot blue
ymin = min(y1)
ymax = max(y1)
a = 1.4
a2 = np.square(a)
b2 = np.square(b)
y3 = np.linspace(ymin, ymax, steps)
x3 = a*np.sqrt(np.square(y3)/b2 + 1.0)
plt.plot(x3, y3, color='b', marker="x")
print('normal form y check ', check(x3, y3, a, b, eps))

# 4: solving equation for y, plot green
a = 1.6
a2 = np.square(a)
xmin = a
xmax = a*np.sqrt(np.square(ymax)/b2 + 1.0)
x4 = np.linspace(xmin, xmax, steps//2)
y4 = b*np.sqrt(np.square(x4)/a2 - 1.0)
x4 = np.concatenate((np.flip(x4, 0), x4), axis=None)
y4 = np.concatenate((np.flip(-y4, 0), y4), axis=None)
plt.plot(x4, y4, color='g', marker="x")
print('normal form x check ', check(x4, y4, a, b, eps))

# 5: using cosine and tangent functions, plot yellow
a = 1.8
tmax = np.arctan(ymax/b)
t5 = np.linspace(-tmax, tmax, steps)
x5 = a/np.cos(t5)
y5 = b*np.tan(t5)
plt.plot(x5, y5, color='y', marker="x")   
print('cos tan check ', check(x5, y5, a, b, eps))

# 6: using parametric equation, plot red
a = 2.0
tmin = ymax/b + np.sqrt(np.square(ymax/b) + 1.0)
#t6 = np.geomspace(tmin, 1.0, steps//2)
t6 = np.linspace(tmin, 1.0, steps//2)
x6 = a*(np.square(t6) + 1.0)/(2.0*t6)
xmax = max(x6)
y6 = b*(np.square(t6) - 1.0)/(2.0*t6)
x6 = np.concatenate((x6, np.flip(x6, 0)), axis=None)
y6 = np.concatenate((y6, np.flip(-y6, 0)), axis=None)
plt.plot(x6, y6, color='r', marker="x")   
print('t square check ', check(x6, y6, a, b, eps))

# 7: using sine and cosine with complex arguments, plot grey
a = 2.2
t7 = np.linspace(-omega*1j, omega*1j, steps)
z7 = a*np.cos(t7) + b*np.sin(t7)
plt.plot(np.real(z7), np.imag(z7), color='grey', marker="x")   
print('cos sin check ', check(np.real(z7), np.imag(z7), a, b, eps))

plt.grid(b=None, which='both', axis='both')
plt.axis('scaled')
plt.xlim(0.0,  math.ceil(xmax+0.5))
plt.ylim(math.floor(ymin), math.ceil(ymax))
plt.show()