Considere el Lagrangiano de Dirac
Actualización: siguiendo la nota 'Corchetes de Dirac' de Steven Avery , defina el siguiente corchete de Poisson (tenga en cuenta el orden exacto de y ):
OP pregunta sobre la transformación de Legendre del Lagrangiano a la formulación hamiltoniana de fermiones. Esta pregunta ya ha sido formulada y respondida, por ejemplo , en publicaciones this , this y this Phys.SE.
Enumeremos aquí una serie de puntos sutiles en este cálculo importante e interesante:
De manera más general, deja denota un campo de Grassmann-paridad . Al definir el momento canónico impar de Grassmann, ¿deberíamos usar derivadas?
Tenga cuidado de usar una convención de signos consistente para el corchete de Poisson (PB)
En el caso fermiónico, tenga cuidado de no confundir el PB clásico y el anticonmutador cuántico .
Volviendo al ejemplo de OP, ¿podemos tratar y como variables independientes? Si es así, ¿es el impulso para ¿cero?
¿La transformación de Legendre es singular? ¿Hay restricciones?
Las respuestas a los últimos puntos 4 y 5 se encuentran en las publicaciones vinculadas de Phys.SE.
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Convencionalmente, se usa en vez de , cf. por ejemplo, un comentario entre eqs. (44.6) y (44.7) en el libro QFT de Srednicki. Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .
Aquí ignoramos una discusión sobre la existencia de derivadas funcionales, que se basan en una elección consistente de condiciones de contorno, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
una mente curiosa
Juan Fredsted