Relación entre espinores y relación anticonmutación de fermiones

Mirando la expresión de un campo de Dirac cuantizado

$$\psi = \sum_s \int a_s(p) u_s(p) e^{-ipx} + b_s^{\dagger}(p) v_s(p) e^{ipx} \frac{d^3 p}{(2\pi)^2\sqrt{2E}} ,$$ uno encuentra que contiene operadores de aniquilación y creación $a_s(p)$y $b_s^{\dagger}(p)$, así como espinores $u_s(p)$y $v_s(p)$. Las propiedades anticonmutación del campo las proporcionan los operadores de aniquilación y creación, mientras que la solución de las ecuaciones de Dirac las proporcionan los espinores. Como resultado, los espinores por sí solos no le darán las propiedades anticonmutación.

El primer párrafo, como la gente ha señalado en los comentarios, es correcto.

Sobre la segunda, la respuesta corta es no, no puedes hacer lo mismo, pero más allá de la declaración correcta es que no necesitas hacer lo mismo. En el marco de la teoría de campos, a diferencia de la mecánica cuántica clásica, ya se tienen en cuenta los estados multipartícula. Es decir, la construcción del espacio de Fock (ver Segunda cuantización ) se realiza actuando con operadores de creación sobre el vacío. Actuando con operadores de creación etiquetados por diferentes momentos o provenientes de diferentes campos, conduce a estados que representan estados de múltiples partículas, por lo que no es necesario tomar productos tensoriales de espinores.

No obstante, los campos fermiónicos (soluciones a la ecuación de Dirac) están sujetos a relaciones canónicas de anticonmutación (a diferencia del caso bosónico donde se convierten en relaciones de conmutación):

$$\{\psi_a(\vec{x}),\psi^\dagger_b(\vec{y}) \}\big|_{t_x=t_y} = \delta(\vec{x}-\vec{y})$$ que inducen las relaciones de conmutación correctas en los operadores de creación y aniquilación $a,a^\dagger$de la descomposición modal habitual.

Entonces, la diferencia de ambos enfoques al final es cuál es el objeto fundamental de estudio bajo cada descripción. En la mecánica cuántica, las funciones de onda describen una sola partícula, en la teoría cuántica de campos, los campos describen las interacciones colectivas de las partículas.

Además, en la teoría cuántica de campos también se debe respetar la simetría de Lorentz entre otras posibles simetrías de una teoría. Entonces, cualquier objeto interesante debe ser un objeto invariante de Lorentz . Además, también se impone la localidad, por lo que para los operadores dentro del Lagrangiano de su teoría, existe el requisito de depender de un solo punto de espacio-tiempo.

Se podría considerar una función de dos puntos, o función de correlación, esta es realmente de interés dentro de QFT:

$$\langle \psi^\dagger(x) \psi(y) \rangle$$ Que es solo el propagador del campo. $\psi$en una teoría libre y te dice cómo evoluciona el campo entre los puntos del espacio-tiempo $x$y $y$en ausencia de interacciones.