¿Ecuación de Dirac como cuantización canónica?

En primer lugar, no soy físico, soy estudiante de doctorado en matemáticas, pero tengo una pregunta física elemental y no pude encontrar la respuesta en los libros de texto estándar.

La motivación es bastante simple: déjame arreglar un espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces podemos pensar en el álgebra de Clifford C yo ( V ⊕ V ∗ ) como álgebra de operadores diferenciales impares en ⋀ V es decir, como cuantización canónica del álgebra de observables fermiónicos clásicos. ( ⋀ V es un análogo de funciones en un espacio y C yo ( V ⊕ V ∗ ) es un análogo de un álgebra de Weil.)

Por otro lado, se utiliza la acción de un álgebra de Clifford en la construcción del operador de Dirac. De ahí mi pregunta: ¿se puede escribir Lagrangian para el fermión clásico en un espacio-tiempo? R 3 , 1 tal que la cuantización canónica de tal sistema da al operador de Dirac como hamiltoniano cuántico?

una pregunta relacionada: con el hamiltoniano de Dirac H = ∫ d 3 X ( i ψ ¯ γ i ∂ i ψ + metro ψ ¯ ψ ) ¿Cómo se convierte esto en una forma que muestre claramente las restricciones? Quiero decir que la teoría es invariante bajo ciertas transformaciones, y las restricciones deberían ser las generadoras de estas simetrías, ¿cómo las expongo en la formulación hamiltoniana?
@kηives: A través de la relación ψ ¯ = ( γ 0 ψ ) † .
Un detalle: no debe usar "observables fermiónicos clásicos", no son "observables" porque son fermiónicos. Debería decir "variables fermiónicas clásicas" en su lugar. La respuesta a su pregunta es sí, pero este punto de vista no es nuevo, es la forma en que las personas normalmente hacen operadores de Dirac de dimensiones superiores.

Respuestas (1)

El matemático en su pregunta hace que sea difícil de entender, es mejor ser más concreto que abstracto. La respuesta es sí, así es como se construyen de forma estándar los operadores de Dirac de dimensiones superiores.

Si tienes el álgebra de Dirac (álgebra de Clifford) en un espacio bidimensional

{ γ m γ v } = 2 gramo m v

diga Euclidiana, luego puede dividir las coordenadas espaciales en pares pares e impares, y definir los operadores de elevación y disminución:

2 γ i − = γ 2 i + i γ 2 i + 1
2 γ i + = γ 2 i − i γ 2 i − 1

Estos anticonmutadores, y obedecen al álgebra de operadores fermiónicos ascendentes y descendentes habituales, puede definir un sistema fermiónico de dimensión 0 para el cual el espacio de estado son los estados de espín. El espacio de estado sobre el que actúan las matrices gamma se puede etiquetar comenzando con el estado de espín llamado |0>, que es aniquilado por todos los operadores de reducción, y los otros estados se encuentran usando operadores de elevación aplicados a |0>.

Entonces, el hamiltoniano de Dirac es automáticamente un hamiltoniano definido en un sistema que consta de una partícula en la posición x y una variable fermiónica que atraviesa el espacio de estado de dimensión finita de los estados de espín.

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