Derivación de la relación anticonmutación entre operadores de creación/aniquilación para fermiones de Dirac

Question

Derivación de la relación anticonmutación entre operadores de creación/aniquilación para fermiones de Dirac

Física
fermiones
anticonmutador
ecuación de dirac
segunda cuantización
teoría cuántica de campos

Mors

A partir de los campos de Dirac:

Ψ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{d^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{r} {[C_{r} (k) {tu}_{r} (k) {mi}^{- i k X} + d_{r}^{†} (k) v_{r} (k) {mi}^{- i k X}]}_{k_{0} = ω_{k}}

$\Psi(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[ c_r(k)u_r(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_r(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}$

Ψ^{†} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{d^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{r} {[d_{r} (k) v_{r}^{†} (k) {mi}^{- i k X} + C_{r}^{†} (k) {tu}_{r}^{†} (k) {mi}^{i k X}]}_{k_{0} = ω_{k}}

$\Psi^\dagger(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[d_r(k)v^\dagger_r(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_r(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k}$

dónde $\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}$ .

La condición de quatización canónica dice:

{\begin{cases} {Ψ_{α} (X), Ψ_{β}^{†} (y)}_{t} = d^{(3)} (\vec{X} - \vec{y}) d_{α β} \\ {Ψ_{α} (X), Ψ_{β} (y)}_{t} = 0 \\ {Ψ_{α}^{†} (X), Ψ_{β}^{†} (y)}_{t} = 0 \end{cases}

$\begin{cases} \{\Psi_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\ \ \delta_{\alpha\beta}\\ \{\Psi_\alpha(x), \Psi_\beta(y)\}_t = 0\\ \{\Psi^\dagger_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = 0\\ \end{cases}$

Para derivar la condición de cuantización para los operadores de creación/aniquilación, tengo que reescribir $c,c^\dagger,d,d^\dagger$ en términos de $\Psi$ y $\Psi^\dagger$ .

Por ejemplo, para derivar la condición de cuantificación canónica entre $c,c^\dagger$ Puedo reescribirlos como:

C_{r} (k) = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{d^{3} X}{\sqrt{2 ω_{k}}} {tu}_{r}^{†} (k) Ψ (X) {mi}^{i k X}

$c_r(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3x}{\sqrt{2\omega_k}} u_r^\dagger(k) \Psi(x) e^{ikx}$

C_{s}^{†} (pag) = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{d^{3} y}{\sqrt{2 ω_{pag}}} Ψ^{†} (y) {tu}_{s} (pag) {mi}^{- i pag y}

$c^\dagger_s(p) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3y}{\sqrt{2\omega_p}} \Psi^\dagger(y) u_s(p) e^{-ipy}$

y luego calcule explícitamente el anti-conmutador:

\begin{aligned} {C_{r} (k), C_{s}^{†} (pag)}_{t} & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} X d^{3} y}{\sqrt{2 ω_{k} 2 ω_{pag}}} [{tu}_{r}^{†} (k) Ψ (X) Ψ^{†} (y) {tu}_{s} (pag) + Ψ^{†} (y) {tu}_{s} (pag) {tu}_{r}^{†} (k) Ψ (X)] {mi}^{i (k X - pag y)} \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} X d^{3} y}{\sqrt{2 ω_{k} 2 ω_{pag}}} [{tu}_{r}^{†} (k) {Ψ (X), Ψ^{†} (y)} {tu}_{s} (pag)] {mi}^{i (k X - pag y)} \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{split} \{c_r(k), c^\dagger_s(p)\}_t &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \Psi(x)\Psi^\dagger(y) u_s(p) + \Psi^\dagger(y) u_s(p)u_r^\dagger(k) \Psi(x) \right]e^{i(kx-py)}\\ &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \{\Psi(x), \Psi^\dagger(y)\} u_s(p)\right]e^{i(kx-py)}\\ &= \cdots \end{split}$

Pero aquí me falta algo: no entiendo por qué puedo cambiar $u_s(p)$ y $u_r^\dagger(k)$ en el segundo término para recuperar el anticonmutador entre $\Psi$ y $\Psi^\dagger$ .

Jon

En todos los libros de texto sagrados es al revés. Usted postula las relaciones de anticonmutación para

c_{r}

$c_r$ y

d_{r}

$d_r$ y luego, está a un simple paso de derivar las relaciones de anticonmutación para los campos.

Respuestas (2)

Derivación de la relación anticonmutación entre operadores de creación/aniquilación para fermiones de Dirac

En todos los libros de texto sagrados es al revés. Usted postula las relaciones de anticonmutación para $c_r$ y $d_r$ y luego, está a un simple paso de derivar las relaciones de anticonmutación para los campos.

c y f · Answer 1

Debe proceder en contracción de los índices de espinor y recordar que, por ejemplo, un par $u^{\dagger}(k,r) \Psi(x) \equiv u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)$ , con $u^{\dagger}_{\alpha}(k,r)$ etiquetando el $\alpha^{\text{th}}$ componente del espinor de Dirac $u^{\dagger}(k,r)$ . Por lo tanto,

{C (k, r), C^{†} (pag, s)} \sim \int d^{3} X d^{3} y ({tu}_{α}^{†} (k, r) Ψ_{α} (X) Ψ_{β}^{†} (y) {tu}_{β} (pag, s) + Ψ_{β}^{†} (y) {tu}_{β} (pag, s) {tu}_{α}^{†} (k, r) Ψ_{α} (X)) = \int d^{3} X d^{3} y ({tu}_{α}^{†} (k, r) {Ψ_{α} (X), Ψ_{β}^{†} (y)} {tu}_{β} (pag, s)) = \dots =

$\left\{c(k,r),c^{\dagger}(p,s)\right\} \sim \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s) + \Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s)u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\right) \\= \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \left\{\Psi_{\alpha}(x),\Psi^{\dagger}_{\beta}(y)\right\} u_{\beta}(p,s)\right) = \dots =$

Termine el ejercicio utilizando sus anticonmutadores canónicos de campo de cuantificación junto con las relaciones de ortogonalidad/completitud entre los $u$ 's.

Srijan · Answer 2

Aquí $\Psi(x)$ es una matriz columna que tiene 4 componentes y $\Psi^\dagger(x)$ es una matriz de fila con 4 elementos de fila (por supuesto, estos elementos son funciones de $x$ ).

Y cuando está tomando la anticonmutación, está eligiendo un componente (o elemento) $\Psi_\alpha(x)$ de (4 $\times$ 1) matriz de columnas $\Psi(x)$ y de manera similar, debe elegir un componente $\Psi^\dagger_\beta(x)$ de 1 $\times$ 4) matriz de filas $\Psi^\dagger(x)$ .

\begin{aligned} Ψ_{α} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{d^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{r = 1, 2} {[C_{r} (k) {tu}_{r, α} (k) {mi}^{- i k X} + d_{r}^{†} (k) v_{r, α} (k) {mi}^{- i k X}]}_{k_{0} = ω_{k}} \\ Ψ_{β}^{†} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{d^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{r = 1, 2} {[d_{r} (k) v_{r, β}^{†} (k) {mi}^{- i k X} + C_{r}^{†} (k) {tu}_{r, β}^{†} (k) {mi}^{i k X}]}_{k_{0} = ω_{k}} \end{aligned}

$\begin{align} \Psi_\alpha(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[ c_r(k)u_{r,\alpha}(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_{r,\alpha}(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}\\ \Psi^\dagger_\beta(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[d_r(k)v^\dagger_{r,\beta}(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_{r,\beta}(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k} \end{align}$ Entonces, ahora puedes ver allí

u

$u$ y

v

$v$ tiene dos índices r y

α

$\alpha$ (o

β

$\beta$ ), aquí

r

$r$ puede tomar los valores 1 y 2 mientras

α

$\alpha$ (o

β

$\beta$ ) puede tomar valores 1,2,3,4.

O simplemente $u_{r,\alpha}$ (o $v_{r,\alpha}$ ) es el $\alpha$ -th componente (o $\alpha$ -ésimo elemento de la matriz) de los (4 $\times$ 1) matriz de columnas $u_r$ (o $v_{r}$ ).

Y de manera similar, $u_{r,\alpha}^\dagger$ (o $v_{r,\alpha}^\dagger$ ) es el $\alpha$ -ésimo componente (o $\alpha$ -ésimo elemento de la matriz) del (1 $\times$ 4) matriz de filas $u_r^\dagger$ (o $v_{r}^\dagger$ ).

De este modo $u_{r,\alpha}$ , $v_{r,\alpha}$ , $u_{r,\alpha}^\dagger$ , $v_{r,\alpha}^\dagger$ todos estos son solo números o los elementos de la matriz, no las matrices.

Por lo tanto, proceda de la forma en que iba y cambie fácilmente $u_{s,\alpha}(p)$ y $u_{r,\alpha}(k)$ (en su notación) ya que son solo los números o los componentes (o elementos) de las matrices correspondientes.

Derivación de la relación anticonmutación entre operadores de creación/aniquilación para fermiones de Dirac

Mors

Jon

Respuestas (2)

c y f

Srijan

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