Función de onda EM y función de onda de fotones

Como explicó Iwo Bialynicki-Birula en el artículo citado, las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones relativistas para un solo fotón, completamente análogas a las ecuaciones de Dirac para un solo electrón. Al restringirse a las soluciones de energía positiva, se obtiene en ambos casos una representación unitaria irreducible del grupo completo de Poincaré y, por lo tanto, el espacio de modos de un fotón o electrón en la electrodinámica cuántica.

Los campos clásicos son valores esperados de campos cuánticos; pero los estados clásicamente relevantes son los estados coherentes. De hecho, para un fotón, se puede asociar a cada modo un estado coherente y, en este estado, el valor esperado del campo e/m da como resultado el valor del campo dado por el modo.

Para obtener más detalles, consulte mis conferencias
http://arnold-neumaier.at/ms/lightslides.pdf
http://arnold-neumaier.at/ms/optslides.pdf
y el Capítulo B2: Fotones y electrones de mis preguntas frecuentes sobre física teórica .

Los valores esperados

$$\langle p | \vec E(\vec x) | p\rangle$$ y de manera similar para $\vec B(\vec x)$desaparecen por una simple razón: el estado $|p\rangle$es, por definición, simétrico traslacional (la traducción solo cambia la fase del estado, la normalización general), por lo que los valores esperados de cualquier campo en este estado también deben ser simétricos traslacionales (la fase se cancela entre el ket y el bra).

Entonces, si espera ver ondas clásicas en los valores esperados en tales estados propios de momento, no es de extrañar que se sienta decepcionado. Por cierto, lo mismo se aplica a cualquier otro campo, incluido el campo de Dirac (en contraste con la afirmación del OP). Si calcula el valor esperado del campo de Dirac$\Psi(\vec x)$en un estado propio de impulso de una partícula con un electrón, este valor esperado también se desvanece. En este caso de Dirac, es mucho más fácil demostrarlo porque los valores esperados de todos los operadores fermiónicos (a la primera oa otra potencia impar) desaparecen debido a la clasificación de Grassmann.

La desaparición de los valores esperados de los campos (aquellos que pueden tener ambos signos, es decir, las funciones lineales de los campos "básicos" conectados con la partícula dada) sería cierto para cualquier estado propio de cantidad de movimiento, incluso estados multipartícula que son estados propios de cantidad de movimiento simplemente porque el argumento anterior se sostiene universalmente. Puede pensar que esta desaparición se debe a que el estado propio del impulso de una partícula es una mezcla de ondas electromagnéticas infinitesimales que pueden estar en cualquier "fase" y, por lo tanto, estas fases se cancelan.

Sin embargo, la relación formal entre los campos clásicos y los estados de una partícula aún se mantiene si uno es más cuidadoso. En particular, se pueden construir "estados coherentes" que son estados de múltiples partículas con un número incierto de partículas que son las aproximaciones más cercanas a una configuración clásica. Puede pensar en los estados coherentes como los estados fundamentales de un oscilador armónico (y un campo cuántico es un oscilador armónico de dimensión infinita) que se desplazan en las direcciones de posición y/o direcciones de momento, es decir, estados

$$|a\rangle = C_\alpha \cdot \exp(\alpha\cdot a^\dagger) |0\rangle$$ Esta expresión se puede expandir de Taylor para ver los componentes con números individuales de excitaciones, $N=0,1,2,3,\dots$los $C_\alpha$El coeficiente es solo un factor de normalización que no afecta la física de un solo estado coherente.

Con una buena elección de$\alpha$para cada valor del campo clásico (hay muchos independientes$a^\dagger(k,\lambda)$operadores para un campo cuántico y cada uno de ellos tiene su$\alpha(k,\lambda)$), tal estado coherente puede construirse para cualquier configuración clásica. Los valores esperados de los campos clásicos.$\vec B,\vec E$en estos estados coherentes será lo que quieras.

Ahora, con el conjunto de herramientas de estado coherente, puede obtener una comprensión más detallada de por qué los estados propios del momento, que también son estados propios del número de partículas, tienen valores propios que se desvanecen. El estado coherente es algo así como la función de onda.

$$\exp(-(x-x_S)^2/2)$$ que es la Gaussiana desplazada a $x_S$asi que $x_S$es el valor esperado de $x$en eso. Este estado coherente puede obtenerse mediante un operador exponencial que actúe sobre el vacío. El término inicial en la expansión de Taylor es el vacío mismo; el siguiente término es un estado de una partícula que conoce la estructura del estado coherente, porque los términos restantes en las expansiones de Taylor se obtienen de la misma pieza lineal que actúa muchas veces, recuerde el $Y^k/k!$forma de los términos en el desarrollo de Taylor de $\exp(Y)$: aquí, $Y$es lo único que necesitas saber.

Por otro lado, el valor esperado de$x$en el estado de una partícula es, por supuesto, cero. Es porque la función de onda de un estado de una partícula es una función impar como

$$x\cdot \exp(-x^2/2)$$ cuya densidad de probabilidad es simétrica (par) en $x$así que, por supuesto, el valor esperado tiene que ser cero. Si miras la estructura del estado coherente e imaginas que el $\alpha$coeficientes son muy pequeños, por lo que los estados multipartícula pueden despreciarse en aras de la simplicidad, se dará cuenta de que el valor esperado distinto de cero de $x$en el estado desplazado (el estado coherente) se reduce a alguna interferencia entre el estado de vacío y el estado de una partícula; ¡no es una propiedad del estado de una partícula en sí mismo! De manera más general, los valores esperados distintos de cero de los campos en puntos particulares del espacio-tiempo demuestran alguna interferencia entre los componentes del estado que tienen diferentes números de excitaciones de partículas en ellos.

La última declaración no debería sorprender desde otro punto de vista. Si considera algo como el elemento de matriz

$$\langle n | a^\dagger | m \rangle$$ donde los vectores bra y ket son estados propios de un oscilador armónico con cierto número de excitaciones, está claro que es distinto de cero solo si $m=n\pm 1$. En particular, $m$y $n$no puede ser igual. Si considera los valores esperados de $a^\dagger$en un estado propio de número de partículas $|n\rangle$, es obvio que el valor esperado desaparece porque $a$y $a^\dagger$, y son solo una forma diferente de escribir combinaciones lineales de $\vec B(\vec x)$o $\vec E(\vec x)$, son operadores que cambian el número de excitaciones de partículas por uno o menos uno (lo mismo para todos los demás campos, incluidos los campos de Dirac).

Entonces, si desea imitar un campo clásico o una onda clásica con valores esperados de los campos distintos de cero, ¡por supuesto que debe considerar superposiciones de estados con diferentes números de excitaciones de partículas! Pero sigue siendo cierto que todos estos valores esperados ya están codificados en los estados de una partícula. Permítanme resumirlo: los estados correctos que imitan las configuraciones clásicas son$\exp(Y)|0\rangle$dónde$Y$es una combinación lineal de operadores de creación (puede agregar los de aniquilación pero no harán la diferencia, excepto por la normalización general, porque los operadores de aniquilación aniquilan el vacío). Dichos estados de formas exponenciales coherentes tienen vevs distintos de cero de cualquier forma clásicamente permitida que pueda desear. En el mismo momento, la exponencial se puede expandir de Taylor a$(1+Y+\dots)$y el término lineal$Y$produce un estado de una partícula que es el último "bloque de construcción" de la configuración clásica. Pero si realmente desea calcular los vev de los campos, no puede descartar el término$1$u otros, ya sea: debe incluir las contribuciones de los elementos de la matriz entre estados con diferentes números de excitaciones de partículas.