Evaluación de la amplitud QED con 1 fotón externo

Descubrí la respuesta yo mismo, así que pensé en publicarla aquí en caso de que alguien esté interesado. Trataré cada uno de los enfoques a su vez.

Enfoque 1

Lo que escribí arriba es evidentemente incorrecto. Podemos derivar el resultado correcto usando la definición de la$S$-matriz, y su relación con las amplitudes de la teoría libre. Esto está dado por

$$\langle\Omega|S|q\rangle_\Omega = \left(\langle 0|T \exp\left\{-i\int d^4 x \mathcal{H}_I\right\}|q\rangle_0\right)_{\textrm{connected, amputated}}$$

dónde$\mathcal{H}_I$es la densidad hamiltoniana en la imagen de interacción (es decir, involucra los campos de Heisenberg de las teorías libres solamente).

Ahora podemos escribir los términos de esto usando el teorema de Wick y observando (como siempre) que solo cuentan los términos totalmente contraídos. Los primeros términos no triviales son esquemáticamente

$$\int \langle0|T-ie\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \int\int\int\langle0|(-ie)^3 \langle0|T\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \dots$$

donde las integrales son sobre el espacio-tiempo. Ahora la contracción de$A^\mu$con$q$da un$e^{-iq.x}\epsilon^\mu$. Si ignora el vector de polarización y verifica que los factores funcionan correctamente, verifica el resultado en P&S.

Tenga en cuenta que la prescripción amputada no es un problema, ya que esto solo se aplica a la línea de fotones externa, que ignoramos.

Enfoque 2

La fórmula LSZ como la escribí anteriormente era en gran parte correcta. Para ser honesto, me di cuenta de que la fórmula en sí no es algo bueno para memorizar. Más bien, se debe tener en cuenta que el$S$-El elemento de la matriz se puede calcular mediante

• Transformación de Fourier de la función de correlación relevante
• calcular el residuo del polo multipartícula
• dividiendo por los factores de renormalización de intensidad de campo apropiados

La función de correlación relevante en este caso es$\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle$como escribí arriba. Nos gustaría relacionar esto con la función de correlación.$\langle \Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$. La idea clave (como lo señaló Lubos) es usar la ecuación clásica de movimiento que tiene la forma

$$\Box A^\mu = -j^\mu$$

dónde$\Box$es algún operador diferencial, con el inverso dado por el propagador de Feynman para fotones (bajo una integral). La generalización cuántica de esto es la ecuación de Schwinger-Dyson

$$\Box\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle + \langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle = \textrm{ contact terms }$$

que es fácil de derivar en el formalismo de integral de camino. Los términos de contacto no contribuyen a la$S$-matriz porque tienen la estructura de singularidad incorrecta. Así invirtiendo$\Box$encontramos hasta términos de contacto

$$\langle \Omega | TA^\mu(x) |\Omega\rangle = \int d^4y D_F^{\mu\nu}(x-y)\langle\Omega|Tj_\nu(y)|\Omega\rangle$$

de donde es la transformada de Fourier

$$\int d^4x e^{-iq.x}\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle = \int d^4y e^{-iq.y}\frac{(-i)}{q^2}\langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$$

efectuando la transformada de Fourier de la función de Green. Ahora, tomando el residuo a medida que el fotón va "en la capa" e ignorando la polarización y la renormalización de la intensidad del campo, recuperamos el resultado de P&S nuevamente.