¿Debería ser obvio que los estados cuánticos independientes se componen tomando el producto tensorial?

¡Gran pregunta! No creo que haya nada obvio en juego aquí.

En mecánica cuántica, asumimos que ese estado de cualquier sistema es un elemento normalizado de un espacio de Hilbert$\mathcal H$. Voy a limitar la discusión a los sistemas caracterizados por espacios de Hilbert de dimensión finita por simplicidad conceptual y matemática.

Cada cantidad observable del sistema está representada por un operador autoadjunto$\Omega$cuyos valores propios$\omega_i$son los valores que se pueden obtener después de realizar una medición de ese observable. Si un sistema está en el estado$|\psi\rangle$, luego, cuando uno realiza una medición en el sistema, el estado del sistema colapsa a uno de los vectores propios$|\omega_i\rangle$con probabilidad$|\langle \omega_i|\psi\rangle|^2$.

El teorema espectral garantiza que los vectores propios de cada observable forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, por lo que cada estado$\psi$Se puede escribir como

Ahora supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos en espacios de Hilbert$\mathcal H_1$y$\mathcal H_2$con observables$\Omega_1$y$\Omega_2$respectivamente. Entonces, si hacemos una medición en el sistema combinado de ambos observables, entonces el sistema 1 colapsará a algún$|\omega_{1i}\rangle$y el sistema 2 colapsará a algún estado$|\omega_{2 j}\rangle$. Parece razonable entonces esperar que el estado del sistema combinado después de la medición pueda ser cualquiera de esos pares. Además, el principio de superposición cuántica nos dice que cualquier combinación lineal compleja de tales estados de pares también debería ser un estado físicamente permitido del sistema. Estas consideraciones nos llevan naturalmente a utilizar el producto tensorial$\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$para describir un sistema compuesto porque es la formalización de la idea de que el espacio de Hilbert combinado debe consistir en todas las combinaciones lineales de pares de estados en los subsistemas constituyentes.

¿Es ese el tipo de motivación para usar productos tensores que estabas buscando?

Me gustaría agregar aquí algún contenido teórico adicional, la excelente respuesta de @joshphysics, ya que en mi opinión, este tema no se trata como debería y hay varios resultados teóricos sobre el tema que deberían conocerse.

Consideremos un sistema cuántico$S$descrito en el espacio de Hilbert$\cal H$y supongamos que está hecho de dos partes independientes$S_1$y$S_2$. Queremos discutir cuándo este sistema se puede representar en un producto tensorial adecuado$\cal H_1 \otimes \cal H_2$, para algunos espacios de Hilbert$\cal H_i$asociado con$S_i$,$i=1,2$.

En el resto de mi respuesta no uso la noción de producto tensorial como descripción a priori de subsistemas independientes, porque quiero discutir cuándo es factible esta descripción.

En primer lugar los sistemas$S$,$S_1$,$S_2$se representan en términos de sus observables. Con una generalidad muy grande podemos suponer que estos observables son acotados (los no acotados se pueden obtener como límite en la topología de operadores fuertes a partir de los acotados) y los conjuntos de observables (incluyendo combinaciones lineales complejas de operadores) son cerrados con respecto a el producto y la suma y la topología de operador fuerte (esto es necesario para implementar la maquinaria espectral estándar).

De esta manera obtenemos una estructura bien conocida llamada álgebra de observables de von Neumann . Así que aquí hay tres álgebras de von Neumann:$R$asociado a$S$y$R_i$respectivamente asociado a$S_i$, por$i=1,2$.

Los operadores autoadjuntos$A\in R$representar todos los observables (acotados) del sistema$S$. Del mismo modo, los operadores autoadjuntos$A_i\in R_i$representar todos los observables (acotados) del sistema$S_i$,$i=1,2$.

Una situación típica es$R = B(\cal H)$, dónde$B(\cal H)$denota el álgebra completa de operadores acotados$A: \cal H \to \cal H$(si$\cal H$la acotación de dimensión finita es automática). Sin embargo, en caso de presencia de reglas de superselección o cuando hay un grupo de calibre, no todos los operadores autoadjuntos sobre$\cal H$representan observables, por lo que la suposición$R = B(\cal H)$es generalmente insostenible.

Discutamos cómo se presenta la noción de subsistemas independientes en esta imagen. Hay tres requisitos

1. $R_i$son subestructuras de$R$:$R_i \subset R$, por$i=1,2$,

2. $R_1$y$R_2$son compatibles:$[A_1,A_2]=0$si$A_1\in R_1$y$A_2\in R_2$,

3. podemos asignar independientemente estados en$R_1$y$R_2$de acuerdo con el requisito a continuación llamado$W^*$-independencia

[$W^*$-independencia] . Si$T_1$y$T_2$son operadores estadísticos que actúan sobre los observables de$R_1$y$R_2$respectivamente ($<A_i>_{T_i} = tr(T_iA_i)$), entonces existe un operador estadístico$T$para el sistema global (actuando sobre$R$) tal que

Hay muchas implementaciones de la noción de independencia en la fijación de estados en subsistemas y esto es propio de la descripción del espacio de Hilbert de la teoría cuántica.

Bajo las hipótesis (1)-(3) (debilitándolas también) surge que el álgebra generada por$R_1$y$R_2$(la suma finita de producto finito de elementos en la unión de las álgebras) es isomorfa a$R_1\otimes R_2$en sentido algebraico puro (sin implicaciones topológicas). Sin embargo, esto todavía está bastante lejos de la imagen estándar donde también se factoriza el espacio de Hilbert.$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$y las algebras$R_1$y$R_2$se interpretan como álgebras de operadores en los factores$\cal H_1$y$\cal H_2$.

Sin embargo, lo contrario es cierto a medida que voy a ilustrar.

Suponer que$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$de modo que$B(\cal H) = B(\cal H_1) \otimes B(\cal H_2)$. A continuación arreglamos

• $R=B(\cal H)$,
• $R_1= B(\cal H_1)\otimes I_2$
• $R_2= I_1 \otimes B(\cal H_1)$

Arriba$I_k$indica el operador de identidad sobre$\cal H_k$. En particular$A_1 \in R_1$toma la forma$A'_1\otimes I_2$para algunos$A'_1 \in B(\cal H_1)$y un hecho análogo es cierto para$S_2$.

En este caso (1), (2) se satisfacen trivialmente y (3) es verdadera en un sentido aún más fuerte. Si$T_1$actúa como un operador estadístico sobre$R_1$siempre se puede escribir como$T'_1\otimes I_2$, para algunos operadores estadísticos en el espacio$\cal H_1$, el análogo es cierto para$S_2$. Un estado$T$satisfacer (3) es siempre$T= T_1'\otimes T'_2$. Este estado tiene una propiedad adicional (que surge inmediatamente de las propiedades básicas del producto tensorial)

Hasta ahora hemos visto que la representación estándar de subsistemas independientes basada en la noción de producto tensorial está de acuerdo con los requisitos generales (1), (2), (3) válidos en general para subsistemas independientes.

La pregunta natural es la inversa, si la estructura de subsistemas independientes (requisitos (1)-(3)) es siempre implementable por medio de la noción de producto tensorial.

La respuesta es negativa ya que existen sistemas físicamente fundamentales donde la noción de producto tensorial es inapropiada para describir subsistemas independientes. Quizás el caso más importante sea el de los observables de un campo cuántico localizado en dos regiones causalmente separadas del espacio-tiempo de Minkowski. Las álgebras de von Neumann asociadas satisfacen (1), (2) y (3), pero en general es falso que el álgebra de observables generadas por ambas regiones (el sistema total) se pueda representar como un producto tensorial de las álgebras de von Neumann sobre un producto tensorial correspondiente de los espacios de Hilbert. (El producto tensorial se puede utilizar cuando una cierta condición técnica llamada propiedad dividida es válida).

¿Existen condiciones suficientes que aseguren que (1), (2), (3) sean implementables mediante el uso estándar del producto tensorial sobre un producto tensorial de espacios de Hilbert?

Hay un resultado importante debido a von Neumann que en realidad es válido en casi todas las situaciones de la mecánica cuántica estándar (no QFT y termodinámica de sistemas extendidos).

Suponer que

• (a)$R= B(\cal H)$,
• (b)$R_1$es un factor tipo I
• (C)$R_2$está formado por todos los operadores de$R$que conmutan con todos los operadores en$R_1$.

(b) merece alguna explicación.$R_1$es un factor si no incluye operadores no triviales que viajan con todos los operadores de$R_1$(en otras palabras, no hay reglas de superselección). El requisito tipo-I es técnico y significa que$R_1$es algebraicamente (no necesariamente unitariamente) isomorfa a alguna$B(\cal K)$para algún espacio de Hilbert$\cal K$. Esta condición siempre se cumple si$\cal H$es de dimensión finita, y es falsa en QFT donde tienen lugar factores de tipo III (y esta es la razón del fallo mencionado anteriormente de la representación del producto tensorial en QFT).

Bajo las hipótesis (a), (b) y (c), entonces (1), (2), (3) son válidas y existen un par de espacios de Hilbert$\cal H_1$,$\cal H_2$, un operador unitario$U: \cal H \to \cal H_1 \otimes \cal H_2$tal que$UR_1U^{-1} = B({\cal H_1})\otimes I_2$y$UR_2U^{-1} = I_1 \otimes B(\cal H_1)$.

Esta es la situación más común donde la noción de producto tensorial es el bloque de construcción fundamental para describir subsistemas independientes.

No, no es obvio en absoluto. Las respuestas (esencialmente idénticas) aquí y aquí proporcionan una buena justificación. La idea clave es que si solo hacemos mediciones en un solo subsistema, las probabilidades que surgen de la regla de Born no cambian si multiplicamos el vector de estado del subsistema por un número complejo. El producto tensorial es la única forma de combinar subsistemas en nuevos vectores de estado que preserva esta propiedad una vez que consideramos el sistema conjunto.

Creo que es bastante obvio. Corrígeme si mi argumento está mal en alguna parte.

En el caso clásico, si desea describir, por ejemplo, las posiciones x de dos partículas, tiene un espacio de fase bidimensional para mostrar los estados posibles, y dos es la suma de uno y uno. Pero un espacio de estado cuántico es muy diferente: cada punto en el$x_1$"eje" es un vector base en sí mismo, y lo mismo para$x_2$-- los vectores de estado de los que hablamos son vectores en el espacio de Hilbert, y se pueden mostrar como distribuciones mapeadas en este$(x_1,x_2)$plano, representándolos como superposiciones de estos vectores base.

Entonces tiene mucho sentido que la dimensión del espacio del producto sea el producto de las dimensiones y no la suma. El número total de puntos en el$(x_1,x_2)$plano, que es la dimensión de este nuevo espacio de Hilbert, es el producto del número de puntos en el$x_1$eje y el$x_2$eje.

Está claro que las probabilidades son multiplicativas. estados dados$|\phi\rangle=\sum p(x)|x\rangle$y$|\psi\rangle=\sum q(y)|y\rangle$en bases$|x\rangle$y$|y\rangle$, es claro que las magnitudes de los componentes del estado

Sin embargo, la idea es bastante simple: supongamos que tenemos un estado como

Debido a que estamos representando dos sistemas independientes, solo podemos observar el primer sistema, contrayéndolo para$|x\rangle$: entonces el estado combinado basado en el lado izquierdo se colapsa para$|x\rangle\otimes|z\rangle$. Pero basado en el lado derecho, esto es$u|x\rangle\otimes|z\rangle$, y por lo tanto$u=1$y de manera similar para$v$.

En realidad, la historia del producto tensorial, que normalmente se cuenta como un axioma en el mundo de la información cuántica, proviene de la teoría electrónica relativista de Dirac.

En la mecánica cuántica relativista, una función de onda se reemplaza por 4 funciones de onda, y una contracción adecuada conduce a una matriz de dos elementos (1,0) o (0,1) que llamamos espín.

En el caso de 2 electrones, la misma teoría conduce a una función de onda de 16 componentes y, después de algunos ajustes, podemos llegar a un objeto de 4 componentes (llamado espinor de Pauli para 2 electrones). Este objeto y las diversas operaciones con el hamiltoniano se describen mejor (en términos de álgebra) utilizando el producto tensorial de los estados (1,0) y (0,1).

Obviamente, estos productos tensoriales corresponden a espines, y dado que la idea de qubit proviene de la de espín, la idea de composición tensorial ahora se toma axiomáticamente en QIP.