¿Por qué los estados coherentes de los osciladores armónicos se denominan "coherentes"?

Los estados coherentes son vectores propios para el aniquilador (bosónico),

$$\hat a ~|\alpha\rangle = \alpha~|\alpha\rangle,$$ y si definimos las cuadraturas de posición y momento como $\hat x = \hat a^\dagger + \hat a,$ $\hat p = i \hat a^\dagger - i \hat a,$tenemos $[\hat x, \hat p] = 2i$y el hamiltoniano adimensional $\hbar\omega ~ \hat a^\dagger \hat a = \frac12 \hbar\omega~x^2 + \frac12 \hbar\omega~p^2 + \text{const.}$para guiarnos. Inmediatamente podemos ver que en el estado coherente que tenemos $\langle x \rangle = \alpha^* + \alpha = 2 ~\Re~{\alpha}$mientras $\langle p \rangle = i~\alpha^* - i ~ \alpha = 2 ~\Im~\alpha,$entonces el plano de posición y momento es básicamente solo el plano complejo $\mathbb C$eso $\alpha$vive en.

Ahora bien, este hamiltoniano, por supuesto, tiene una base propia$\hat a^\dagger \hat a ~ |n\rangle = n ~|n\rangle$y en términos de esa base vemos una recurrencia de que si$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$entonces podemos resolver eso$\alpha |\alpha\rangle = \hat a |\alpha\rangle$implica

$$c_n \sqrt{n} = \alpha c_{n-1},\text { so } c_n = c_0 \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}.$$ luego haciendo ejercicio $1 = \langle \alpha|\alpha\rangle = c_0\sum_n \big(|\alpha|^2\big)^n/n! = c_0 \exp\big(|\alpha|^2\big)$da la constante de normalización $c_0.$

Sin embargo, tenga en cuenta que bajo este hamiltoniano,$|n\rangle \mapsto e^{-in\omega t} |n\rangle$y por lo tanto,

$$|\alpha\rangle \mapsto \exp\left(-|\alpha|^2\right) \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} ~ e^{-i~\omega t~n} |n\rangle,$$ que vemos en el lado derecho se combina por reglas de exponentes normales para formar $(\alpha e^{-i\omega t})^n.$En otras palabras, la evolución temporal es que $|\alpha(t)\rangle = |\alpha_0 e^{-i\omega t}\rangle,$y nuestro estado coherente simplemente hace un círculo en el plano complejo a medida que evoluciona.

Es en este sentido preciso que entiendo la palabra "coherente", es el significado "permanece perfectamente unido a lo largo de su viaje". Es de la misma manera que diría "los láseres son un fenómeno coherente; la luz por su naturaleza quiere esparcirse en un$1/r^2$ley, pero en un láser, los diferentes paquetes de ondas están dispuestos con las diferencias de fase correctas para que interfieran destructivamente en las ondas que intentan salir del haz propiamente dicho e interfieran constructivamente en la siguiente posición del haz".

Los estados coherentes del oscilador armónico son estados mecánicos cuánticos que tienen una fase definida y una incertidumbre mínima. Los estados de la Mecánica Cuántica del Oscilador Armónico no tienen una fase definida (es decir, que un fotón esté en fase con otro fotón no es válido en la mecánica cuántica), por lo que necesitamos un estado de la Mecánica Cuántica para modelar una luz láser coherente (que se piensa en muchas luces). fuentes en fase entre sí).

El estado coherente del oscilador armónico se puede obtener mediante un operador de desplazamiento que actúa sobre el estado de vacío

$$D|0\rangle=|\alpha\rangle$$ Dónde $$D=e^{(\alpha{a}^{\dagger}-\alpha^*a)}$$ El Estado Coherente se define como, $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-|\alpha|^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle$$ Dónde $\alpha=|\alpha|e^{i\theta}$es un número complejo con ' $\theta$' la fase del estado coherente.

El Estado Coherente obedece a la relación de Incertidumbre,

$$\Delta{x}\Delta{y}=\frac{\hbar}{2}$$

El estado fundamental de HO no tiene ninguna fase definida, por lo que el gaussiano está centrado en el origen en el espacio de fase. Pero el estado coherente tiene una fase definida, por lo que el gaussiano no está necesariamente centrado en el origen.

En el contexto de la Óptica Cuántica '$x$' y '$y$' están relacionados con los campos Eléctrico y Magnético. La idea de estado coherente se utiliza ampliamente en la óptica cuántica.

En mi opinión, la forma más intuitiva de explicar el significado del estado coherente del oscilador armónico es la siguiente:

Un estado coherente del oscilador armónico (AOCS) es una solución de la ecuación de Schodinger dependiente del tiempo para el oscilador armónico cuántico. Esto significa que la distribución de densidad de probabilidad,$|\psi|^2(x,t)$evoluciona en el tiempo, es decir, no es un estado estacionario. ¿Recuerdas el estado fundamental de un oscilador armónico? El famoso$|0\rangle$corresponde a una densidad de probabilidad gaussiana, centrada en el origen. La característica particular de este estado es que la incertidumbre sobre la posición,$\Delta x$y la incertidumbre sobre el impulso$\Delta p$minimizar el principio de incertidumbre de Heisemberg. estado propio$|0\rangle$es un estado estacionario y la densidad de probabilidad asociada$|\psi|^2(x)$no depende del tiempo.

Bueno, un estado coherente de oscilador armónico se puede visualizar como un estado "oscilante"$|0\rangle$estado. En otras palabras, un AOCS es una función de onda gaussiana que oscila de un lado a otro, alrededor de la posición$x=0$. Pero en cada instante la forma de la gaussiana es siempre la misma (y minimiza el principio de incertidumbre). Entonces, algunas cantidades como$\langle x \rangle$(que corresponde al pico de la función de onda gaussiana),$\langle p \rangle$, (que se puede asociar a la velocidad del pico de la gaussiana) tienen una evolución temporal sinusoidal. ¡Es por eso que a menudo reciben el nombre de estados cuánticos semiclásicos! En otras palabras: si la amplitud de las oscilaciones es$\gg$ $\Delta x$, vuelve a obtener las ecuaciones clásicas de movimiento para una partícula masiva puntual sujeta a una fuerza elástica.

Por supuesto, tienes muchos estados coherentes posibles. Para ser más precisos, los estados coherentes forman una variedad plana 2D. Esto significa que, para construir un AOCS, tiene 2 grados de libertad: amplitud y fase de la oscilación del paquete de ondas gaussianas.

Son coherentes en el sentido de que la fase de los diversos componentes cromáticos está dispuesta de tal manera que reproduce este comportamiento oscilante.