Sobre los postulados de la mecánica cuántica y la autoadjunción

1. Si tiene diferentes espacios de Hilbert, no puede decir que es el mismo operador en ellos, ya que los operadores se definen en el espacio de Hilbert . El operador de impulso es complicado para muchos sistemas, y el rigor requiere la discusión de conceptos como espacios de Hilbert amañados . Una buena discusión introductoria de esto es "Sorpresas matemáticas y el formalismo de Dirac en la mecánica cuántica" de Francois Gieres .

2. Sí. El teorema espectral se cumple para operadores autoadjuntos , no para los hermitianos . Esas dos nociones solo coinciden en espacios de Hilbert de dimensión finita, pero los físicos son (lamentablemente) a menudo descuidados al respecto porque no quieren que la mecánica cuántica introductoria se convierta en un análisis funcional completo.

3. El hamiltoniano debe ser autoadjunto ya que la energía es un observable, sí. Es posible relajar la demanda de autoadjunción y exigir solo un hamiltoniano PT simétrico, y aún se puede obtener una teoría cuántica razonable, pero esto es bastante exótico. En todos los contextos habituales, el hamiltoniano es autoadjunto y observable. Dado que es autoadjunto, sus vectores propios abarcan todo el espacio. Pero se permite que cada vector sea un estado del sistema, y ​​solo porque$p$no viaja con$H$no significa estados propios de$p$no están permitidos - ¿cómo podrían hacerlo, dado que, si se mide$p$, encontrará el sistema en uno de sus estados propios por suposición ? La no conmutatividad simplemente significa que nunca puede tener un sistema simultáneamente en un estado propio de ambos operadores que no conmutan; si es el estado propio de uno de ellos, será una combinación lineal de los estados propios del otro (ya que forman un ¡base!)-

Ok, hay muchos puntos aquí.

1)

En primer lugar, un operador en los espacios de Hilbert no se define sólo por su acción (por ejemplo, la operación de derivación del momento), sino también por el llamado dominio de definición, es decir, el subespacio de vectores del espacio de Hilbert donde puede acto. Los operadores ilimitados no están definidos para cada vector del espacio de Hilbert, sino solo en un subconjunto denso llamado dominio del operador. Dado un operador (es decir, dada su acción y su dominio), uno puede preguntar si el operador es cerrado con ese dominio, autoadjunto, etc. Suponga que tiene un operador simétrico densamente definido que se puede cerrar$A$. Entonces puede tener cero, una o infinitas extensiones autoadjuntas. El operador de derivación, densamente definido en las funciones infinitamente diferenciables continuas, tiene solo una extensión autoadjunta en$L^2(\mathbb{R})$; el operador de derivación definido en$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=0=\psi(1)\}$ no tiene extensiones autoadjuntas en$L^2([0,1])$, pero si se define en$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=\alpha\psi(1)\}$, con$\lvert\alpha\rvert=1$entonces es autoadjunto .

Entonces, el problema no es que necesite cambiar la forma de un operador cuando lo usa en diferentes espacios, simplemente debe considerar los operadores como un todo, es decir, como una acción y un dominio de definición correspondiente. Una vez que haya hecho eso, puede preguntar si es cerrado, simétrico, auto-adjunto, esencialmente auto-adjunto, etc.

2)

Los únicos operadores autoadjuntos tales que los vectores propios correspondientes forman una base del espacio de Hilbert son aquellos que son compactos o con un resolvente compacto (autoadjunto y ermitaño no son lo mismo para operadores ilimitados). Y la forma más correcta de la otra afirmación sobre la conmutación es que dos operadores autoadjuntos que conmutan comparten una familia espectral común de proyecciones (no puedo ser más preciso en este punto con su nivel de conocimiento). Digamos que si ambos son compactos o con un solvente compacto, la afirmación que ha hecho es cierta.

3)

El postulado debe decir: "La dinámica del sistema es generada por un grupo unitario de transformaciones". Estos grupos unitarios están en correspondencia biunívoca con operadores autoadjuntos (teorema de Stone). Estos últimos actúan como generadores. Entonces, el hamiltoniano, dado que es exactamente el objeto definido para ser el generador de la dinámica, tiene que ser autoadjunto en la mecánica cuántica.

Editar:

Una pequeña adición a los observables (su segundo postulado). Es complicado definir de manera matemáticamente precisa los observables de la mecánica cuántica. Una forma matemática agradable y elegante es definir los observables como un$C^*$-álgebra, es decir, un álgebra de operadores acotados autoadjuntos en un espacio de Hilbert, y formular axiomas de la mecánica cuántica a partir de observables en lugar de los propios espacios de Hilbert. Un inconveniente es que los operadores ilimitados no se incluyen como observables desde este punto de vista, mientras que muchas cantidades que se consideran observables en física son operadores ilimitados: la energía y el momento sobre todo. Supongo que un requisito mínimo para un observable físico en la mecánica cuántica es que sea un operador simétrico en un espacio de Hilbert, por lo que su rango numérico es un subconjunto de la línea real (es decir, su valor esperado es siempre un número real).

La mecánica cuántica es una teoría física. Para un sistema físico dado (configuración y estados posibles), puede fijar un espacio de Hilbert y algunos operadores lineales. Algunos operadores lineales serán unitarios (por ejemplo, la evolución del tiempo, para avanzar de un estado en un momento a un estado en un momento diferente), algunos operadores serán autoadjuntos (por ejemplo, para un observable).

Un operador lineal es técnicamente un mapa lineal de (un subespacio de) el espacio de Hilbert a sí mismo, por lo que cuando tiene un espacio de Hilbert diferente, técnicamente tiene diferentes operadores por definición.

Para un observable, generalmente también desea que las funciones propias estén completas.

Para dos observables conmutables, las funciones propias de uno pueden o no ser funciones propias del otro, pero hay funciones propias comunes, y suficientes.

La dependencia del tiempo viene dada por la ecuación de Schrödinger, y para estados estacionarios Hf=Ef, donde f es la función de onda, H es hamiltoniano y E es la energía del sistema.

A veces, desea más de un operador que simplemente que sea autoadjunto, por ejemplo, puede querer que tenga un valor esperado finito para cada estado, porque a veces considera que el valor esperado en sí mismo es una especie de conjunto observable.

¿Las funciones propias del hamiltoniano tienen toda la información sobre el sistema?

Las funciones propias del hamiltoniano están completas y sabe cómo evoluciona cada una (porque conoce la energía), por lo que puede averiguar cómo actúa cualquier operador acotado en cualquier momento. Eso es bastante bueno. (Para un operador ilimitado, tendría que verificar si su estado está en el dominio)

Si las funciones propias no son las funciones propias de... digamos, p, lo que significa que p no conmuta con H, ¿las funciones propias de p no pueden ser uno de los posibles estados del sistema?

Si un observable no conmuta con el hamiltoniano, entonces no tendrán funciones propias comunes, pero eso está totalmente bien. Eso solo significa que después de una medición del momento observable, no será un estado propio de energía, incluso si lo era antes. Pero las funciones propias de energía aún están completas, por lo que aún sabrá cómo evoluciona esa función propia de impulso.

Lo que lleva a las cosas que no vi en su publicación, una sola cosa sobre la medición o la proyección.