Confusión "completa"

La palabra "completo" parece usarse de varias maneras distintas. ¿Quizás mi confusión es tanto lingüística como matemática?

  1. Una base, por definición, abarca el espacio; algunos libros llaman a esto "completo", aunque entonces la frase "base completa" es redundante.

  2. En física/ingeniería, "completo" parece estar reservado para bases ortogonales/ortonormales, lo que necesariamente significa no solo un espacio vectorial, sino específicamente un espacio de producto interno. Una base completa en este sentido QM hace más que simplemente abarcar el espacio: el concepto de ortogonalidad permite la relación de Parseval, proyecciones no superpuestas, Gram-Schmidt, etc. ¿Es posible tener una base completa (en este sentido QM)? que NO es ortogonal?

  3. Aunque completo en el sentido del espacio de Hilbert y las secuencias de Cauchy parece ser un uso diferente del término, la convergencia de secuencias dentro del espacio parece no estar tan lejos, conceptualmente, de Parseval. Entonces, ¿es realmente tan diferente?

Sí, hay usos no equivalentes de la palabra "completa". Tenemos que vivir con eso.
2.) no es cierto, en mi opinión. Estamos usando "completo" exactamente en el mismo sentido que los matemáticos. Una de las primeras cosas que nos enseñaron en mis primeras clases de matemáticas para físicos fue, de hecho, la diagonalización de Gram-Schmidt. No puede ser de otra manera porque muchos problemas de física no vienen con bases ortogonales/ortonormales incorporadas y en muchos sistemas (redes cristalinas) ni siquiera serían una buena elección natural. Además, como físico, soy constantemente consciente de que la existencia de productos internos y, en el caso de los espacios de Hilbert, la completitud para series infinitas de elementos son una propiedad especial.
Sí, los productos internos abundan en la física. Pero esta es una estructura adicional que no se requiere de los espacios vectoriales o sus bases.
Permítanme decirlo de esta manera: ¿cuál es la relación de completitud para una base no ortogonal?

Respuestas (3)

Como se señaló, muchas personas usan "completo" donde tal vez deberían decir "completo y ortogonal y ortonormal" o similar. No estoy seguro de lo que puedo decirle además de confirmar que el uso no siempre es ideal. Responderé una pregunta que planteaste, pero me preocupa que me haya confundido con el tipo de "completo" que quisiste decir:

¿Es posible tener una base completa (en este sentido QM) que NO sea ortogonal?

¡Sí! Considere, por ejemplo, los estados coherentes . No son ortogonales, ya que ⟨ α | β ⟩ no es cero para α ≠ β . Pero están completos, de hecho, "sobrecompletos".

Por completo en el "sentido QM" me refiero a que la suma/integral sobre ket-bra es la unidad.
ah La integral sobre todos los estados coherentes es π I . Pensaré en tu pregunta real, entonces, tal vez se me ocurrirá un caso degenerado extraño (o una contraprueba).
¿No podría simplemente agregar un factor de 1/sqrt(pi) a uno de los estados? los estados serían entonces completos, y todavía no ortogonales?
Estarían completos, ¡pero no serían ni ortogonales ni normalizados!
Un conjunto sobrecompleto es un conjunto generador. Pero todavía me parece que (sobre) completo en el sentido de QM requiere un espacio de producto interno
@gilonik La palabra completa requiere una métrica (por lo que sería suficiente un producto interno). Cuando dice que algo está demasiado completo, quiere decir que puede eliminar cosas de él y que aún esté completo. Las mismas cosas suceden con los conjuntos de expansión, es posible que desee agregar más vectores para obtener un marco que se expande y luego algunos, tal vez, para la redundancia. A veces le gusta la redundancia, a veces le gustan las combinaciones lineales únicas, a veces le gustan las combinaciones lineales finitas únicas. Configura tu sistema para darte lo que quieres, estoy tratando de hacerte consciente de las opciones, no pelear por la terminología.
Mis disculpas si soné combativo. ¡Estoy tratando de entender la terminología, no pelear por ella! Pero creo que tú (y yuugib) alcanzaste la distinción clave: la completitud es un concepto de espacio métrico y, por lo tanto, no es tan "primitivo" como una base o un conjunto de expansión.

Tienes que tener cuidado con la palabra span. Un matemático dirá que el lapso de un conjunto de vectores es el conjunto de combinaciones lineales finitas, por lo que solo puedes sumar combinaciones lineales de un número finito a la vez para obtener algo en el lapso. Entonces, hay conjuntos que son mutuamente ortogonales y todos normalizados, pero no lo suficiente como para abarcar el espacio con combinaciones lineales finitas. Pero los llamamos completos si el tramo es lo suficientemente grande como para que su finalización (rellenando los agujeros) sea todo el espacio. Entonces, en cierto sentido, llamamos completo a un conjunto ortonormal de vectores si las infinitas combinaciones lineales forman todo el espacio.

Pero para infinitas combinaciones lineales necesitamos una métrica, como la de un producto interno. Entonces, toda la noción no tiene sentido en un espacio vectorial arbitrario, pero puede tener sentido en un espacio de Hilbert. En un espacio de Hilbert no solo hay un producto interno (y, por lo tanto, una métrica), por lo que podemos hablar sobre el límite, sino que las secuencias de Cauchy tienen cosas a las que converger, por lo que hay algo para ser el límite de su suma.

Entonces, cuando dices completo para una base ortonormal, estás hablando de sumas infinitas. Y decir que el sol, si las proyecciones son la identidad, generalmente es la forma en que lo expresa, pero eso requiere límites de operadores, no solo vectores, por lo que técnicamente debe poner una métrica en su espacio de operadores si desea caracterizarlo de esa manera. , entonces la completitud de una base ortonormal ahora depende de cómo defina las distancias y tome los límites de los operadores. Pero necesitas definir eso si quieres hablar sobre la exponencial de un operador.

Y siempre y cuando hayamos mencionado la integridad y los operadores. Debo advertirle que cuando un matemático dice estado, como en estado cuántico, podría referirse a un operador como un operador de densidad.

Ahora bien, esto es una cuestión de terminología, pero la palabra completa generalmente se reserva como una cuestión de definición para conjuntos ortonormales de vectores. Y como definición no tiene nada de profundo.

Si siempre piensas en completo como suficiente, entonces estás bien. Cuando tiene un conjunto de vectores ortonormales tan grande que no puede agregar otro vector ortonormal, entonces está completo. Cuando haya llenado tantos huecos que cada secuencia de Cauchy ahora tenga algo hacia lo que converger, entonces su espacio estará completo.

Pero ese conjunto completo de vectores ortonormales no es tan grande como puede ser si renuncias a ser ortonormal. Como conjunto, si hay vectores linealmente independientes, potencialmente hay más vectores que podrían agregarse al conjunto que no pueden escribirse como combinaciones lineales finitas de los vectores que ya están allí. Por lo tanto, no son suficientes en un sentido algebraico, solo en el sentido métrico son suficientes. Y es por eso que moralmente insistes en la ortogonalidad, es solo cuando insististe en la ortogonalidad que tenías la sensación de que no podías agregar más.

Ah, y se supone que una base apenas se extiende, así que no tengas demasiadas. Los estados coherentes de otra respuesta están demasiado completos y tienen demasiados vectores.

No estoy seguro de estar siguiendo. ¿Está diciendo, por ejemplo, que una base de espín j abarca pero no es completa? Esa puede ser una buena terminología matemática, pero la distinción no es lo suficientemente importante como para hacerse en QM.
@gilonik No estoy seguro de estar siguiéndote. En un espacio de dimensión finita, no tiene que preocuparse por la completitud porque su espacio de producto interno ya está completo y su base ortonormal ya está completa. Un espacio de producto interno de dimensión finita es siempre un espacio de Hilbert, pero un espacio ip de dimensión infinita puede no serlo, por lo que debe mostrar la integridad. Estoy diciendo que span significa combinación lineal finita y, por lo tanto, su número 1 no es técnicamente cierto: una base completa técnicamente podría no ser una base porque técnicamente podría no abarcar el espacio. Es una terminología confusa

La completitud en matemáticas es esencialmente un concepto métrico (eso significa que cada secuencia de Cauchy en el espacio métrico converge a un elemento del espacio).

A veces (pero creo que más desde un punto de vista físico, y estoy de acuerdo que es una especie de repetición y no tan común) se usa para caracterizar bases en espacios vectoriales, en el sentido de que una base es completa si su tramo lineal es todo el vector espacio. El axioma de elección implica que todo espacio vectorial tiene una base.

La base ortonormal en un espacio de Hilbert es en realidad diferente: el espacio tiene tal estructura adicional que podemos darnos el lujo de hacer infinitas combinaciones lineales de vectores, siempre que converjan en la norma. Sin embargo, tenga en cuenta que una base (completa) de vectores ortogonales en un espacio vectorial con producto interno V (en el sentido de combinación lineal finita), no es en general una base (completa) del espacio métrico (Hilbert) obtenido como la terminación de V con respecto a la métrica inducida por el producto interior. Sin embargo, puede ocurrir que sea una base en el sentido del espacio de Hilbert, es decir, si se permiten infinitas combinaciones lineales.

Aparte de eso y la lógica matemática, eso probablemente esté bastante lejos de lo que se pretende aquí, no puedo pensar en otras instancias de la palabra completa en matemáticas (pero tal vez me estoy olvidando de algo).

Sin embargo, dado que en un caso "completo" está asociado a un espacio (métrico), y en el otro a bases en espacios vectoriales (posiblemente con un cuidado adicional para especificar si permitimos combinaciones finitas o infinitas), creo que es razonablemente fácil de evitar confusión.

Decir completo significa que el espacio es incorrecto, una base ya se extiende y cuando decimos base completa, técnicamente no se extiende. Una base es un conjunto generador mínimo o un conjunto linealmente independiente máximo. Siempre abarca el conjunto. Sin embargo, cuando llamamos a algo una base ortogonal, no nos referimos a una base que resulta ser ortogonal; en cambio, nos referimos a un conjunto linealmente independiente ortogonal máximo, que luego puede terminar sin ser un conjunto generador y en su lugar abarca algo denso, abarca algo cuya terminación es el espacio. Entonces queremos decir que la finalización del tramo es el espacio.
@Timaeus Cada espacio vectorial tiene una base (es un teorema probado) que, según la definición, abarca el espacio. Esta base es "completa" (dije que no era una terminología tan buena y redundante). Y dado un espacio vectorial VV con estructura de producto interna, incluso si hay una base ortogonal (puede haberla o no) que abarque todo el espacio (seguramente hay al menos una base que abarque todo el espacio, y tal vez sea de vectores ortogonales por pares) entonces sería no, en general, una base del espacio métrico obtenido como una terminación del espacio vectorial del producto interno. Mantengo el hecho de que es correcto.
Sin embargo, estoy de acuerdo en que el concepto de bases ortogonales en los espacios de Hilbert es diferente, ya que permite infinitas combinaciones lineales, siempre que converjan en norma. Esa es, sin embargo, otra definición de base que es habitual en los espacios de Hilbert y Banach (base de Schauder). También estoy de acuerdo en que completo en ese sentido no es una terminología tan buena, sin embargo, no tiene ninguna relación con la que se refiere a espacios métricos completos.
@Timaeus Como adición, observo que existe una base en el sentido del espacio vectorial (combinaciones finitas) de un espacio de Hilbert separable, pero puede ser (y probablemente sea) incontable. Por el contrario, la base en el sentido de Schauder, es decir, con infinitas combinaciones lineales, es contable.
Usted dice que es un teorema que todo espacio vectorial tiene una base, pero no es un teorema en ninguna definición útil de la palabra. Es una suposición sin fundamento. ZF más C y ciertos métodos de deducción producen "todo espacio vectorial tiene una base" como teorema, pero por otro lado ZF más "todo espacio vectorial tiene una base" y exactamente los mismos métodos de deducción producen C como teorema. Entonces el llamado teorema es equivalente a un axioma que no tiene base. Creo que las bases de Hamel no están relacionadas con la física por esa misma razón.
En cuanto a su afirmación de que las bases de Schauder son completitud métrica no relacionada, definitivamente está equivocado en el único caso que importa, el espacio de Hilbert separable único donde el cierre métrico del tramo de un conjunto ortogonal máximo es de hecho todo el espacio de Hilbert. En espacios vectoriales de dimensión finita, no necesita la palabra completo y solo hay un espacio de Hilbert separable y ¿cómo puede usar un espacio de Hilbert no separable para hacer ciencia?
@Timaeus Un teorema es una declaración verdadera en una teoría lógica con reglas de inferencia, axiomas y esquemas. Y así, en ZFC, "todo espacio vectorial tiene una base" es un teorema (en la única definición matemática de la palabra). Es cierto que el axioma de elección completo y "todo vector tiene una base" son equivalentes, sin embargo no es gran cosa, usamos muchos teoremas que son reformulaciones del axioma de elección en física. Además, con formas de elección más débiles aún puedes demostrar que muchos espacios vectoriales tienen bases.
@Timaeus Y no he dicho que las bases de Schauder no estén relacionadas con la integridad del espacio, solo dije que la noción de "base completa", pensada como una base que "se extiende finitamente" o "se extiende infinitamente" un espacio no está relacionado con la noción de completitud de un espacio métrico. Y finalmente, espacios no separables importantes en física: un ejemplo de un espacio no separable de Banach relevante es el álgebra de operadores que satisfacen las relaciones canónicas de conmutación. Además, hay algunas conjeturas de que los espacios de Hilbert no separables pueden ser interesantes en QFT (pero seguramente son solo hipótesis).
Para que una teoría lógica sea significativa, siempre se supone que es consistente. Y realmente deberías tomar un buen libro básico sobre los fundamentos de las matemáticas y ver cómo se define un teorema (te sugiero el libro de teoría de conjuntos de Bourbaki).
Con su punto de vista, el lema de Zorn, el teorema del buen orden de Zermelo, el teorema de Hahn-Banach (equivale a una forma de elección un poco más débil), el lema del ultrafiltro... (puedo seguir y seguir) no son teoremas , sino declaraciones deshonestas.
No, un teorema no es una declaración verdadera en un sistema de axiomas, por ejemplo, su sistema de axiomas podría ser inconsistente (y ZFC de hecho podría ser inconsistente), en cuyo caso, si usa el método deductivo (actualmente) más popular, entonces todas las declaraciones en el lenguaje son teorema. A y nota no son verdaderas. Un teorema es en realidad solo una declaración que se genera a través de un método particular. En su caso, trató de decir que algo era un teorema de una manera totalmente deshonesta porque sabía que ZF+C es equivalente a ZF+EVSHAB y probablemente sabe que se desconoce la consistencia de su sistema.
Asumir cosas y llamarlo teorema solo para que parezca que no asumiste que es totalmente deshonesto.
En cuanto a asumir que su sistema de axiomas es consistente, si jugar a fingir o hacer creer lo ayuda a hacer las cosas porque ser honesto y generar teoremas al mismo tiempo no es su estilo, entonces respeto su elección personal. Pero decirle a alguien que algo tiene que ser de cierta manera porque asumiste que lo era es otra cosa completamente diferente. Y luego pretender que no estabas haciendo eso. Eso es un paso demasiado lejos. No sabes si todo espacio vectorial tiene una base. A usted personalmente le gusta asumir eso y luego quiso afirmar que su camino era el único camino. Eso es algo deshonesto que hacer, puedes hacerlo mejor.
@Timaeus La consistencia de ninguna teoría puede probarse dentro de la teoría misma (el segundo teorema de incompletitud de Gödel). De todos modos se puede probar la consistencia de una teoría "fuera" de la teoría, como hizo Gentzen con la aritmética. También existe un método llamado forzar para construir nuevas teorías consistentes a partir de modelos y probar la independencia de los axiomas. Como decía, un teorema es un objeto matemático perfectamente definido y encaja muy bien con la lógica.
Si quieres hacer muy bien las matemáticas fuera de ZFC, hazlo. Pero recuerda que tienes que probar todo desde cero a partir de los axiomas que desees asumir (y que no puedes demostrar que es consistente dentro de la teoría, si contiene aritmética). Usas mucho el axioma de elección, te lo aseguro. Personalmente, soy muy consciente de lo que estoy haciendo cuando digo que algo es un teorema y de lo que significa, es decir, que es un enunciado verdadero en una teoría lógica precisa.
Probablemente no te importe, porque no haces matemáticas rigurosas. Pero ser tan pretencioso como para decir que los que hacen matemáticas simplemente hacen trampa porque usan sistemas de axiomas asumiendo su consistencia, eso es deshonesto.
Los sistemas no pueden probar su propia consistencia desde dentro del sistema si también tienen otras propiedades, como contener porciones lo suficientemente grandes de un sistema aritmético popular. Sí, sus sistemas favoritos tienen esas propiedades, pero una vez más, cuando finge falsamente que todo el mundo tiene que hacer las cosas de la forma en que le gusta hacerlas, eso es ir demasiado lejos. Dan Willard estudia sistemas consistentes que prueban su propia consistencia. No es correcto pretender que la gente tiene que hacer las cosas como a uno le gusta hacerlas, y socava la credibilidad de los matemáticos cuando lo hacen.
Cuando tales teorías brinden resultados interesantes y poderosos, estaré muy feliz de usar esos sistemas. Es una pena que dentro de estas teorías se puedan probar tan pocos resultados. De todos modos, no quiero que cada uno haga las cosas como a mí me gusta, simplemente quiero que si alguien da un resultado matemático, que sepa lo que significa y lo que está haciendo. Y ZFC es, con mucho, el sistema lógico más común utilizado por matemáticos y físicos, por lo que es habitual decir que algo es un teorema omitiendo "en ZFC" (y también lo hace cada vez que en sus respuestas aquí da un resultado verdadero)
¿Ahora me estás diciendo que uso el axioma de elección? Hago predicciones físicas, lo que significa que tengo que estudiar formas de hacer predicciones reales mediante métodos reales que produzcan resultados reales con una cantidad finita de trabajo. Usar el axioma de elección no me ayuda a estudiar algoritmos implementables reales al igual que el método deductivo más popular no me ayuda a estudiar algoritmos implementables reales. Ambos pueden ayudarme a comunicarme con personas a las que les gusta usarlos. Fingir que puedes hacer cosas que en realidad no se pueden hacer no es una actividad muy útil.
No objeté el hecho de que usted dijo EVSHAB, sino la forma en que lo dijo, donde lo hizo sonar como si no fuera una suposición, como si no hubiera alternativas. En ciencia tenemos que ser justos con todas las alternativas, seguro que algunas áreas pueden tener una ventaja debido a mucho trabajo previo sobre el que construir y esa es una consideración legítima, pero en ciencia debemos ser honestos, no podemos caracterizar injustamente otras teorías. Ninguna computadora real contiene toda la aritmética, entonces, ¿por qué necesitamos sistemas de axiomas que supongan que puede calcular cosas que realmente no puede calcular con su computadora real?
Has repetido (como si hicieras la misma afirmación nuevamente) tu afirmación de que los teoremas son verdaderos. E hizo esto después de que señalé que su sistema podría ser inconsistente y, por lo tanto, al usar su método deductivo favorito (pero no requerido) genera tanto SS y ¬S _¬S _ como teoremas. Entonces, tal vez la verdad que quiso decir es "los axiomas A implican el teorema T" o incluso más precisamente "los axiomas A y el método deductivo K generan la declaración T", que son cosas verdaderas reales, y pueden probarse con las mismas herramientas que usamos para hacer ciencia, como como por cálculos finitos. No hay nada de malo en eso.
Y sí, puede decir que "es un teorema" podría ser una forma abreviada de eso, pero cruza la línea de la deshonestidad si finge que eso no es lo que está haciendo. Cuando pretende que tenemos que tener EVSHAB y, por lo tanto, no podemos usar, digamos NF, en lugar de ZFC. No digo que no pueda asumir en privado que su sistema es consistente a medida que realiza su trabajo. Estoy diciendo que si en lugar de enfrentar a su competencia de manera justa y en lugar de reconocer su suposición, finge que la suya era la única opción, entonces se perjudica a sí mismo y a su campo.
Es como dijiste que me opuse, como si no hubiera una alternativa a EVSHAB y me opuse porque no es buena ciencia, y este es un sitio de física. No es buena ciencia ser injusto con la competencia. Si alguien hace una predicción y no está de acuerdo con la observación, entonces todas las cartas deben estar sobre la mesa, el equipo, los cálculos, las teorías, las ideas, incluso las propias matemáticas. Todo lo que se usó para probar la predicción debe ser analizado. Nadie recibe un viaje gratis. Claro, algunas cosas son las primeras en la fila y otras pueden ser las últimas. Pero nada está por encima de la ley.
Ahora, hay un nivel meta completo en el que asumes tu sistema de axiomas y asumes su consistencia, que si se hace en privado, lo respeto. Pero luego presentarlo de una manera diferente, como si tuviera más evidencia a su favor y menos evidencia en contra de la que realmente existe, eso no está bien. Y ahora vas más allá y afirmas que soy pretencioso y repetidamente me dices que necesito leer libros básicos. Cuando te digo con precisión por qué no estoy de acuerdo contigo. Eso es en realidad 100% una falacia ad hominum pura. Te he dicho que lo que estás haciendo es deshonesto en cuanto a suprimir pruebas en tu contra.
Y cuando digo que puedes hacerlo mejor, lo digo en serio. Eres capaz de no usar tácticas deshonestas porque sé que eres una persona buena y capaz. Ni siquiera te digo que cualquier cosa que hagas es improductiva en un entorno adecuado, entre matemáticos que ya saben sobre ZF, NF, ZFC, NFU, NGB y ZF+V=L y están familiarizados con el trabajo de Dan Willard y el trabajo de Gödel. y los equivalentes del axioma de elección y la lógica clásica y la lógica constructiva y la geometría diferencial sintética y el dialetismo y conocer la gama completa de métodos deductivos (axiomas y métodos deductivos) disponibles.
Ellos saben lo que quieres decir. Y yo también. Pero aquí, en este lugar de la ciencia, no es correcto ni honesto afirmar que tienes más evidencia de la que realmente tienes. No te estoy juzgando por lo que haces en privado o en otros lugares. Estoy diciendo que aquí, si su audiencia aquí, no puede notar la diferencia entre "debe ser así" y "debe ser así si asumimos todas las cosas que generalmente nos gusta asumir y no queremos decir todas el tiempo porque eso sería molesto, ¿verdad?" entonces estás haciendo algo completamente diferente al decir exactamente las mismas palabras aquí. Y no es pretencioso decirte eso.
@Timaeus Mira, tienes un comportamiento muy distorsionado y mordaz hacia las matemáticas (y en particular hacia mí) que es completamente injustificado. Te gustan las cosas computables, está bien, y hay matemáticas hechas para permitir solo eso (programa constructivista/finitista). ¿No te importan las matemáticas en absoluto? También eso está bien. Pero no digas que los resultados matemáticos se expresan de manera presuntuosa porque es absolutamente falso. Cuando aplicamos las matemáticas a la física (y hay toda una rama llamada física matemática para hacer eso) usamos las matemáticas como una herramienta para hacer predicciones.
Y si la predicción está en contradicción con los hechos experimentales, significa que algunas de las suposiciones no son verdaderas, porque la estructura rigurosa de las matemáticas no introduce errores, aproximaciones como lo hace un cálculo numérico. Es perfectamente científico, y no pretende en absoluto ser una verdad absoluta, simplemente una verdad dentro de algunos supuestos, que si se falsea experimentalmente significa que uno o más de los supuestos son falsos. Está en marcado contraste con lo que dices.
Te daré un ejemplo muy simple. En física matemática hay mucho trabajo hoy en día para justificar rigurosamente la aproximación del campo medio. Esto se hace demostrando teoremas de forma matemática, mostrando que, por ejemplo, muchos bosones no relativistas con potencial de par se comportan, en el límite cuando son muchos, como dictan las ecuaciones de Hartree/Gross-Pitaevski. También proporciona límites cuantitativos sobre el error cometido en la aproximación. Esto se hace en un entorno donde ZFC es necesario desde un punto de vista matemático.
Si intenta hacer cálculos y hacer predicciones computables, puede predecir mucho menos que con las matemáticas (ya que necesita muchas aproximaciones). Entonces, el modelo matemático es más apto para ser probado y eventualmente contradicho, ya que es científico, directamente en el nivel experimental que los cálculos numéricos porque es más "preciso" en algún sentido.
Y si algún día encontrara una instancia experimental en la naturaleza que contradiga a ZFC como teoría básica de conjuntos, estaré feliz de cambiar a otra teoría para modelar la realidad física. De lo contrario, dado que funciona muy bien y da predicciones realmente precisas, me quedaré con él, y no creo que sea deshonesto en absoluto; solo una forma efectiva de producir resultados interesantes.
¿Qué está distorsionado? Sé en detalle cómo se generan realmente los teoremas, desde los axiomas reales que se usan hasta los métodos reales que se usan para generar teoremas a partir de axiomas. No es una distorsión para mí ser consciente de que un teorema es un enunciado generado a partir de otros enunciados de una manera particular. Pero a diferencia de un físico promedio, me doy cuenta de que hay muchos sistemas que puede usar. Así como puede usar geometría euclidiana y geometría no euclidiana, puede usar ZFC de manera similar o puede usar NFU, son diferentes y una no es una opción obvia sobre la otra.
Mencioné la computación para señalar que, como científicos, no estamos obligados a hablar sobre cosas más allá de lo que necesitamos para hacer predicciones comprobables que se pueden hacer con medios finitos. No tenemos que ceñirnos a eso. Acabas de decir que algo es presuntuoso o que no es presuntuoso. No sé a qué te refieres. Si usa un sistema potencialmente inconsistente con un método que genera todas las declaraciones posibles de un sistema inconsistente, entonces decir "X es un teorema" no dice mucho, podríamos esperar a ver si luego dice " ¬¬ X es un teorema" ¿cuál es el punto?
Usted afirma que las matemáticas no introducen errores, pero si oculta sus suposiciones y sus suposiciones pueden ser inconsistentes, alguien que desconoce las suposiciones que usó debe tratarlo como una fuente de error. Solo teniendo sus suposiciones disponibles puede contribuir a la ciencia.
Todavía no estoy seguro de que hayas asimilado nada de lo que he dicho. Tratar de introducir el rigor podría incluir ver rigurosamente las consecuencias de las suposiciones, pero luego debe establecer sus suposiciones y está limitado por ellas. O la introducción del rigor podría ser más al estilo de las matemáticas inversas, donde intentas ver qué puede darte un resultado y quieres ver qué podría generarlo. Pero a menudo se menciona el rigor como si los matemáticos supieran la verdad y quisieran pontificar desde una posición de autoridad. Está bien. Si. Los supuestos se ponen en la tabla. De lo contrario, no es ciencia.
En cuanto a la revisión de ZFC cuando las pruebas indirectas son una técnica común de generación de teoremas, no está claro si reconocerá una inconsistencia si las encuentra porque asume axiomas y su consistencia y X y luego obtiene una contradicción y elige culpar a X. Si hay siempre una X a la que culpar, entonces puede llevar mucho tiempo si la prueba más corta de una contradicción es muy larga, pero lógicamente todas las declaraciones son teoremas si hay una contradicción. Entonces, decir que es un teorema en sí mismo solo significa que tienes una prueba. Las pruebas son útiles. Las pruebas constructivas aún más (Howard-Curry).
De hecho, todavía me sorprende que estemos discutiendo. Me opuse a la forma (incluido el contexto) que eligió para expresar su afirmación de que EVSHAB era un teorema cuando cualquier declaración podría ser un teorema si su sistema y es justo decir que EVSHAB era lógicamente independiente de los axiomas que en realidad se usan. para describir computadoras reales que realizan cálculos reales, por lo que agregó EVSHAB como axioma y, por lo tanto, obtuvo EVSHAB como teorema, ya que cada axioma es técnicamente un teorema (con una prueba muy breve).
Conozco muy bien los límites de las teorías matemáticas, y lo que significa dar pruebas y cuáles son las posibles limitaciones de un sistema de axiomas. Sin embargo, parece que no comprendes muy bien cuál es el problema con el segundo teorema de incompletitud de Gödel. El problema no es que pueda haber declaraciones contradictorias. En absoluto, es simplemente que necesita una teoría lógica más fuerte para probar la consistencia de una teoría. Se demuestra que ZFC es una teoría consistente dentro de una teoría donde existe un cardinal inaccesible adecuado.
Bueno, supongo que también podríamos estar discutiendo que si tienes un conjunto ortonormal máximo en un espacio de Hilbert separable, la finalización del tramo es el espacio de Hilbert isomorfo al espacio de Hilbert original.
Es un problema de complejidad de la verdad, es decir, cuántos "pasos" lógicos necesitas para probar la teoría. Los enunciados contradictorios quedan excluidos siempre que sus axiomas sean independientes, es decir, cada uno es indemostrable por los demás.
Soy perfectamente consciente del segundo teorema de incompletitud de Gödel, pero no es un "problema" para mí porque simplemente me dice el costo de instalar estructuras que no siempre tengo que usar. Tener un cardenal inaccesible no ayuda mucho si ZF es inconsistente y en realidad no sabemos si es inconsistente
Simplemente estoy argumentando que usted es muy terco al no aceptar que las teorías matemáticas son significativas y que los sistemas de axiomas se construyen para obtener resultados interesantes que sean científicos. Y no monstruos contradictorios que hacen sentir superiores a los matemáticos. ¿Y está seguro de que puede probar cualquier afirmación matemática en su respuesta aquí (o en su trabajo) mediante métodos finitistas? casi no lo creo...
Y, de hecho, puede haber declaraciones contradictorias que se puedan generar a partir de ZF y así es la vida. Pero podemos hacer teorías consistentes que sabemos que son consistentes porque podemos hacer teorías que describen con precisión modelos finitos.
No es difícil hacer teorías que sean completas y consistentes. Y es posible que uno de ellos pueda describir nuestro universo con precisión. Hurra. Y es una pregunta abierta si ZF es consistente. Y si ZF es inconsistente, entonces ni ZF ni ZFC pueden describir nuestro universo si nuestro universo es consistente (en un sentido diferente de la palabra)
Ah, ahora podríamos tener un lugar para enfocar nuestro desacuerdo. Mira yo se que ZF+C y ZF+ ¬¬ C son equiconsistentes, pero esto solo significa que "ZF implica (ZF y C son independientes)" no significa que "ZF y C son independientes" porque si ZF ya fuera inconsistente, entonces "ZF y C no son independientes" porque entonces C es un teorema de la ZF inconsistente. Entonces, en realidad no sabemos si ZF es inconsistente porque no probamos que todos los axiomas fueran independientes entre sí. En realidad, no sabemos si los axiomas de ZF son independientes entre sí, si lo supiéramos, sabríamos que son consistentes. Y nosotros no.
En realidad, ZFC + IC demuestra la consistencia de ZFC y ZF. Entonces, realmente, la existencia de declaraciones contradictorias no es preocupante. Forzar es en realidad un método muy poderoso para probar la consistencia del nuevo modelo lógico con propiedades interesantes (como el modelo Solovay que es ZF+DC y todos los conjuntos de reales son medibles).
Solo me he opuesto a ocultar pruebas y ser injusto con los competidores. No me opongo a ninguna creación de la mente humana que sea honesta, quiero decir que algunos de ellos no están de acuerdo con la observación, pero las teorías comprobables tienen que tener la posibilidad de estar equivocadas, así que no voy a protestar por eso. algo no está de acuerdo con la observación, simplemente lo etiquetaré.
Si ZF es inconsistente entonces ZF+AnyAxiom implica la consistencia de ZF ya que ZF implica la consistencia si ZF. Entonces, cuando escribe ZF+AnyAxiom implica la consistencia de ZF, lo que sabemos es que ZF es inconsistente o ZF es consistente. Algo que ya sabíamos. Claro, si ZF es consistente, entonces debemos tener cuidado con qué AnyAxiom colocar allí, ya que no cualquier cosa funcionará. Pero si ZF es inconsistente, cualquier cosa habría funcionado. Así que poner algo allí y obtener un teorema de que ZF es consistente no me convence ni convence a nadie.
No, realmente parecía que estaba objetando la consistencia de las matemáticas y su validez como ciencia. Y de una manera muy desagradable y obstinada para ser honesto. Parece que a usted no le gustan las teorías axiomáticas donde hay incompletitud, y que no está satisfecho incluso si se le muestra evidencia de que existen métodos para probar la consistencia de estas teorías que, en mi opinión, cumplen con la intuición de probar un sistema complejo. necesita utilizar el método de "complejidad adicional", es decir, fuera del propio sistema.
De hecho, yo mismo he hecho muchas teorías que cumplen con los criterios exactos que acabas de sugerir. Y sí, algunos de ellos no me gustan (en el sentido de que personalmente no disfruto demostrando teoremas en ellos), pero no me opongo a ellos. Simplemente no veo ninguna evidencia de que ZF sea tal teoría. Quiero decir que es axiomático y es matemática. Simplemente no veo ninguna evidencia de su consistencia.
No, aquí estás profundamente equivocado. En esos modelos de Z F C + algo _ _ _ _ _ZFC+ algo _ _ _ _ _ _ _ _ usted prueba que no hay declaraciones contradictorias, porque prueba que hay un procedimiento que da como resultado que cualquier declaración de la teoría es verdadera, falsa o indecidible dentro de la teoría. Si no es lo que quieres, entonces no sé lo que es...
La información adicional se usa para construir la prueba, no en las declaraciones que están dentro de la teoría original.
Y no culpo a ZF por eso, fue diseñado antes de que la gente se diera cuenta de lo difícil que es mostrar consistencia. Pero eso no significa que estoy obligado a aceptarlo como consistente cuando no fue diseñado para dejar claro ese hecho (si es cierto).
dado un enunciado, se tiene un método de prueba para obtener su valor de verdad. desafortunadamente, el método se basa en cierta complejidad adicional que está fuera del sistema. pero es eficaz para probar las afirmaciones
y para mí, el último punto es el poder predictivo de una teoría. ¿Qué puedes probar dentro de él? ZFC es bastante poderoso; mientras que las matemáticas finitarias que no incluyen aritmética completa no lo son... si todo su interés está en hacer un algoritmo, tal vez sea suficiente, si está prediciendo el comportamiento de sistemas físicos muy complejos, probablemente no lo sea.
He dicho muchas veces que me opongo a la deshonestidad y al trato injusto con la competencia. Y no creo que pienses que ninguno de los dos hace buena ciencia. Podríamos estar convergiendo en un desacuerdo que se puede resolver sobre ZFC+S, pero con suerte no estamos en desacuerdo en que la honestidad y el trato justo a la competencia son buenos en ciencia.
obviamente no; pero no creo que tomar como implícito el modelo matemático más utilizado en física califique como deshonestidad. No veo personas en física que hagan declaraciones matemáticas para especificar qué sistema axiomático es suficiente para probar la afirmación, simplemente dan a entender que están usando el más común. Si eres diferente, y te ofende esta omisión te pido disculpas, pero te ofendieron casi todos de esa manera me temo...
Dices que estoy "profundamente equivocado" y que " En esos modelos de Z F + algo " pero si ZF es inconsistente, entonces no hay modelos de ZFC+S porque los sistemas inconsistentes (como ZFC+S) no tienen modelos. Imagine que en lugar de ZF usamos un sistema obviamente inconsistente y luego, si se detiene y se asegura de que su argumento sea obviamente no está muerto en el agua, entonces puede evitar que le señale que su argumento no me convenció.
Entonces asumes que Z F C no tiene declaraciones contradictorias. Esta es una suposición por el momento. Ahora agregue un axioma independiente A . Según la hipótesis anterior, esta es nuevamente una teoría sin declaraciones contradictorias. Ahora si dentro de Z F C + A puedes probar que Z F C es no contradictorio (de hecho, cada declaración es verdadera, falsa o indecidible), entonces está confirmando su hipótesis inicial de no contradicción. Simplemente está utilizando pruebas que son "más complejas" que el sistema original, de conformidad con el teorema de Gödel. ¿Es eso poco convincente?
Sobre el poder predictivo. Hay sistemas de axiomas que son inconsistentes, la geometría diferencial sintética es uno de ellos y es potencialmente útil porque tiene un poder predictivo potencial porque usa un método deductivo más débil para evitar generar todas las declaraciones. Pero ZFC podría generar todas las declaraciones posibles, por lo que el poder predictivo es potencialmente cero, a menos que piense que los teoremas con pruebas encontradas históricamente antes son mejores que los teoremas de las negaciones cuyas pruebas se encontraron más tarde. Y seguro que no te gustan los métodos finitos, y eso es justo, los métodos no finitos tienen la ventaja de una gran
Obviamente, si la teoría fuera inconsistente, no podrías haber podido probar que todas sus declaraciones son verdaderas, falsas o indecidibles.
Gran base de usuarios, e incluso si los métodos finitos fueran mucho más efectivos de lo que pensaba, esa desventaja es real.
No prefiero los métodos finitos, pero solo porque (con nuestro conocimiento) las declaraciones que necesito probar no son demostrables por métodos finitos. Y necesito estas declaraciones para hacer predicciones interesantes.
"Obviamente, si la teoría fuera inconsistente, no podrías haber podido probar que todos sus enunciados son verdaderos, falsos o indecidibles" si quieres decir que para cada enunciado puedes (probar que es verdadero) xor (demostrar que es falso) xor (demuestra que es indecidible) que no sería posible si tu teoría fuera inconsistente. Pero eso requiere una infinidad de pruebas y una cuantificación xor sobre ellas, incluso diciendo que las pruebas no existen. En extremo escéptico de que esto suceda porque no es lo que sucede en ninguna prueba de consistencia relativa que haya visto.
¿Y usando la palabra verdad? O necesitas un modelo o deberías estar hablando de teoremas y demostraciones y estás hablando tan vagamente que no puedo decir lo que estás diciendo.
Cuando demuestras consistencia, eso es exactamente lo que demuestras. Tú defines las declaraciones válidas, los axiomas, las reglas de inferencia; y probar dentro de las reglas de inferencia que cualquier declaración dada S satisface ( p r o o f ( S ) + ¯ pags r o o f ˉ S ) si es cierto, lo contrario si S es falsa, o se prueba ( ¯ p r o o f ( S ) + ¯ pags r o o f ˉ S ), es decir S es indecidible. Si puede probar eso para las declaraciones en una teoría, usando solo reglas de inferencia y axiomas de otra teoría que es la original + un axioma independiente, entonces no veo ningún problema.
Obviamente, esto no es finito, y usted acepta un posible número infinito de inferencias (sin embargo, en realidad de naturaleza recursiva) en el sistema. Si no te gusta ni siquiera eso, que así sea. Pero eso está perfectamente claro y formalizado en lógica dentro del sistema de inferencia habitualmente utilizado. Muchos enunciados pueden demostrarse también mediante métodos finitarios o simplemente recursivos (constructivismo); de todos modos, eso no significa que el otro método no sea una alternativa aceptable
Ahora parece que estás diciendo que "pruebas para cada declaración S ..." mientras que yo estaba diciendo "para cada declaración S tú ..." Si tienes una prueba, entonces es por definición finita
No la demostración puede tener carácter recursivo, ya que la recursividad transfinita es un esquema de las teorías lógicas usuales. Si desea restringir la recursividad solo a la recursividad contable, entonces está bien, pero de todos modos es implícitamente de naturaleza infinita.
Y sigues teniendo la palabra indecidible que se trata de demostrabilidad y la palabra verdadero, todo mezclado.
Sí , porque un enunciado es indecidible si ambas pruebas ( S ) y p r o o f ( ˉ S ) son falsas, es decir, no hay prueba de la declaración dentro del sistema. Esto es parte del procedimiento básico de Gödelización en lógica, es decir, ver las pruebas como (eventualmente) declaraciones verdaderas de una teoría.
¿Quieres recursividad transfinita en el nivel o tu lógica? Entonces, ¿supongo que también querrás una lógica de segundo orden? No estoy seguro de por qué no pones ZFC en tu lógica mientras lo haces, si el estándar es que la mayoría de la gente lo hace, la democracia y la popularidad tienen un peso real en las matemáticas. También son reales en la ciencia, pero no tan importantes.
Pero si comienzas con verdadero y falso, entonces comenzaste con un modelo. Claro, si tiene un modelo, es posible que desee que algunas de las verdades sean teoremas y que todos los teoremas sean verdades y, de manera similar, las falsedades. Pero los sistemas inconsistentes no tienen modelos.
La recursividad transfinita es un esquema en ZFC que es una lógica de primer orden; y se puede utilizar como herramienta para hacer demostraciones. Obviamente, sin embargo, ese esquema puede requerir un número infinito de instancias para ser verificado. Y, obviamente, desea teorías satisfactorias que tengan modelos (en realidad, es equivalente a la coherencia dentro de la lógica de primer orden). Esto no está relacionado con el hecho de que la consistencia deba probarse fuera del sistema y, como dije, en realidad se hace usando axiomas adicionales.
Confusión "completa"
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