Espacio de Hilbert vs espacio de Hilbert proyectivo

¿Por qué los estados son rayos?

^{(Respuesta a OP 1. y 2.)}

Uno de los principios fundamentales de la mecánica cuántica es que los estados de un sistema físico corresponden ( no necesariamente de manera única , ¡de eso se tratan los espacios proyectivos en QM!) a vectores en un espacio de Hilbert.$\mathcal{H}$, y que la regla de Born da la probabilidad de un sistema en el estado$\lvert \psi \rangle$estar en estado$\lvert \phi \rangle$por

^{(Tenga en cuenta que el hábito de hablar de vectores de estado normalizados se debe a que el denominador de la regla de Born es simplemente la unidad y la fórmula es más sencilla de evaluar. Esto es todo lo que hay que hacer para la normalización ).}

Ahora bien, para cualquier$c \in \mathbb{C} - \{0\}$,$P(c\psi,\phi) = P(\psi,c\phi) = P(\psi,\phi)$, como se puede comprobar fácilmente. Por lo tanto, especialmente$P(\psi,\psi) = P(\psi,c\psi) = 1$mantiene, y por lo tanto$c\lvert \psi \rangle$son los mismos estados que$\lvert \psi \rangle$, ya que eso es lo que significa tener probabilidad 1 de estar en un estado.

Un rayo es ahora el conjunto de todos los vectores que describen el mismo estado según esta lógica: es solo el subespacio unidimensional abarcado por cualquiera de ellos: Para$\lvert \psi \rangle$, el rayo asociado es el conjunto

Cualquier miembro de este conjunto producirá los mismos resultados cuando lo usemos en la regla de Born, por lo que son físicamente indistinguibles.

¿Por qué las fases siguen siendo relevantes?

^{(Respuesta a OP 3.)}

Para un solo estado, una fase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha},\alpha \in \mathbb{R}$por lo tanto, no tiene ningún efecto sobre el sistema, permanece igual. Sin embargo, observe que las "fases" son esencialmente la dinámica del sistema, ya que la ecuación de Schrödinger le dice que cada estado propio de energía$\lvert E_i \rangle$evoluciona con la fase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_i t}$.

Obviamente, esto significa que los estados propios de energía no cambian, por lo que se denominan estados estacionarios . Sin embargo, la imagen cambia cuando tenemos sumas de tales estados:$\lvert E_1 \rangle + \lvert E_2 \rangle$voluntad, si$E_1 \neq E_2$, evoluciona de manera diferente a una multiplicación global con una fase compleja (o un número par), ¡y por lo tanto deja su rayo en el curso de la dinámica! Vale la pena convencerse de que la evolución no depende del representante del rayo que elegimos: Para cualquier complejo distinto de cero$c$,$c \cdot (\lvert E_1 \rangle + \lvert E_2 \rangle)$visitará exactamente los mismos rayos en exactamente los mismos tiempos que cualquier otro múltiplo, mostrando nuevamente que los rayos son la noción correcta de estado.

El espacio proyectivo es el espacio de los rayos.

^{(Respuesta a OP 4. y 5. así como algunos comentarios adicionales)}

Después de notar, una y otra vez, que las entidades físicamente relevantes son los rayos, y no los vectores mismos, uno es naturalmente llevado a la idea de considerar el espacio de los rayos . Afortunadamente, es fácil de construir: "Pertenecer a un rayo" es una relación de equivalencia en el espacio de Hilbert y, por lo tanto, se puede dividir en el sentido de que simplemente decimos que dos vectores son el mismo objeto en el espacio de rayos si se encuentran en el mismo rayo - los rayos son las clases de equivalencia . Formalmente establecemos la relación

y definir el espacio de rayos o espacio proyectivo de Hilbert para ser

¡Esto no tiene nada que ver con la forma Gram-Schmidt de encontrar una nueva base para un espacio vectorial! ¡Esto ya ni siquiera es un espacio vectorial! (Tenga en cuenta que, en particular, no tiene cero) Sin embargo, lo bueno es que ahora podemos estar seguros de que cada elemento de este espacio representa un estado distinto , ya que cada elemento es en realidad un rayo diferente . ¹

(Nota al margen (ver también la respuesta de orbifold ): una consecuencia directa e importante es que necesitamos revisar nuestra noción de qué tipo de representaciones buscamos para los grupos de simetría; inicialmente, en el espacio de Hilbert, habríamos buscado representaciones unitarias , ya que queremos conservar la estructura vectorial del espacio así como la estructura del producto interior (ya que la regla de Born se basa en ello), ahora sabemos que basta con buscar representaciones proyectivas , que son, para muchos grupos de Lie, en biyección a las representaciones lineales de su cobertura universal, que es cómo, cuánticamente,$\mathrm{SU}(2)$como el "grupo de espín" surge del grupo de rotación clásico$\mathrm{SO}(3)$.)

Quinta pregunta del OP

Cuando uno limita el espacio de Hilbert al de un cierto observable del sistema en cuestión, por ejemplo, espacio de impulso o giro (para medir el impulso y el giro de un sistema respectivamente), ¿significa eso que ya estamos hablando de espacios proyectivos? (por ejemplo, ¿el espacio de espín abarcado por los estados de espín hacia arriba |↑⟩ y hacia abajo |↓⟩ de un sistema se denomina espacio de Hilbert de espín proyectivo?)

no está muy bien planteado, pero golpea el corazón de lo que la proyectivización hace por nosotros: cuando hablamos de "espacio de impulso"$\mathcal{H}_p$y "espacio giratorio"$\mathcal{H}_s$, se entiende implícitamente que el "espacio total" es el producto tensorial$\mathcal{H}_p \otimes \mathcal{H}_s$. Que el espacio total/combinado sea el producto tensorial y no el producto ordinario se sigue del hecho de que la noción categorial de un producto (llamémoslo$\times_\text{cat}$) para espacios proyectivos es

Para conocer las motivaciones de por qué esta es una noción sensata de producto a considerar, vea algunas otras preguntas/respuestas (por ejemplo, esta respuesta mía o esta pregunta y sus respuestas ).

Insistamos de nuevo en que el espacio proyectivo no es un espacio vectorial y, por lo tanto, no está "atravesado" por nada, como parece pensar la quinta pregunta.

^{1 El lector inquisitivo puede protestar, y con razón: si nuestra descripción del sistema en el espacio de Hilbert tiene una simetría de calibre adicional, ocurrirá que hay rayos distintos que representan el mismo estado físico , pero esto no nos interesará aquí.}

La formulación matemática actual de la mecánica cuántica se basa en la teoría de las álgebras de operadores. El axioma fundamental es que un sistema mecánico se describe mediante una C*-álgebra y el conjunto de estados viene dado por (una restricción del) espacio de estados de dicha C*-álgebra. Los espacios de Hilbert entran en juego a partir de la teoría de la representación de C*-álgebras. Dado un estado, que es un funcional lineal positivo normalizado sobre el álgebra, induce una representación de tal álgebra a través de la llamada representación GNS. El álgebra C* ahora se representa en un espacio de Hilbert, y el estado ahora se genera a través de un vector, a saber.

Hasta aquí esto debería haber respondido las preguntas 1-3. Para las preguntas restantes, observe que un espacio de Hilbert proyectivo no siempre es de dimensión finita (de hecho, rara vez lo es). No hay un vínculo directo con Graham-Schmidt, ya que solo está tomando el espacio de Hilbert y simplemente identificando algunos vectores de acuerdo con una relación de equivalencia.

Siempre que se le presente un sistema cuántico en la forma simple de un conjunto de observables y un espacio de Hilbert, los estados (puros) se consideran vectores normalizados definidos hasta un factor de fase, es decir, como elementos del espacio proyectivo de Hilbert.

La noción de espacio proyectivo es sensible para cualquier espacio vectorial V (de dimensión finita o no). Como conjunto el espacio proyectivo$P(V)$es simplemente el conjunto de subespacios vectoriales unidimensionales del espacio vectorial. Si lo piensa brevemente, cualquier subespacio vectorial unidimensional (o rayo, como los llaman los físicos) está dado por un vector distinto de cero$v$en$V$y todos los múltiplos escalares$\lambda v$de eso Obviamente, esa descripción no es única, cualquier múltiplo distinto de cero de$v$también lo haría, por lo que el espacio proyectivo es el cociente

dónde$v \equiv w$si existe$\lambda \neq 0$, tal que$v = \lambda w$.

En otras palabras, el espacio proyectivo le brinda una manera de hablar sobre rayos (subespacios vectoriales unidimensionales) en un espacio vectorial. Esto es independiente de si el espacio vectorial es un espacio de Hilbert.

Entonces, ¿qué papel juegan los rayos en un espacio de Hilbert en la mecánica cuántica? Algunos de ellos son estados propios puros de un observable.$Q$. Recuerde que los observables se describen mediante operadores hermitianos autoadjuntos, si$v$es un vector propio de$Q$para valor propio$\lambda$, eso es$Qv = \lambda v$, Asi es$\mu v$para todos$\mu \neq 0$. Como es el valor propio real$\lambda$que es físicamente observable, es realmente el subespacio unidimensional atravesado por$v$Eso importa. geométricamente un operador autoadjunto hermitiano$Q$genera una "rotación"$e^{iQ}$en el espacio proyectivo de Hilbert, cuyos puntos fijos (generalmente no son realmente puntos) corresponden a los llamados "estados puros".

Además, dado un estado propio de un observable$Q$,$\vert \phi \rangle$y un estado arbitrario$\vert \psi\rangle$, la probabilidad de transición de$\vert \psi\rangle$a$\vert \phi\rangle$es dado por

Más precisamente simetrías de un sistema mecánico cuántico con espacio de hilbert$H$vienen dadas por una representación del grupo de simetría

en el grupo unitario proyectivo del espacio de Hilbert, este grupo actúa naturalmente sobre el espacio proyectivo$P(H)$y no$H$. El caso más simple es el de una partícula de espín 1/2 no relativista en su sistema de reposo. La simetría restante del grupo de Gallilei es una representación

Da la casualidad de que tales representaciones proyectivas están en correspondencia uno a uno con las representaciones de la doble cubierta de$SO(3)$,$SU(2)$:

Ya que$SU(2)$es compacto, sus representaciones unitarias son de dimensión finita y su representación irreducible más pequeña se denomina representación de espín-1/2, con$H = \mathbf{C}^2.$Entonces aprendemos que los estados espaciales de un spin-1/2 en su marco de reposo es

Sin embargo, no sucede nada misterioso una vez que haya elegido un conjunto de estados propios (por ejemplo, para el giro en la dirección z$\vert + \rangle, \vert - \rangle$) todos los demás estados se pueden escribir como una combinación lineal

Esto es importante si consideramos múltiples partículas de espín-1/2, su espacio de Hilbert se da a partir de principios generales como

$H = H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$

dónde$\otimes$es el producto tensorial y el trenzado$H_i \otimes H_{i+1} \to H_{i+1} \otimes H_i$introduce un signo menos porque las partículas de espín 1/2 son fermiones, es decir$v_i \otimes v_{i+1} = -v_{i+1} \otimes v_i$(Estos espacios vectoriales también se denominan superespacios vectoriales). Ahora de nuevo uno realmente debería mirar

curiosamente solo hay una incrustación de

Llamado incrustación de Segre, los productos tensoriales de estados puros de una partícula no abarcan el espacio de Hilbert de múltiples partículas, los estados que no se encuentran en la imagen se conocen como "entrelazados".

Resumir una separación precisa del espacio de Hilbert y su proyectivización ayuda a aclarar muchos problemas en la mecánica cuántica. No he mencionado el estudio de las representaciones proyectivas irreducibles del grupo de Poincaré, por ejemplo, el excelente libro de Weinberg sobre Teoría cuántica de campos cubre eso. Las ideas geométricas como la métrica del estudio de Fubini (o la métrica de Bures) también son útiles.

Además de la respuesta de Phoenix87, que resume sucintamente el espacio de Hilbert tal como ahora se entiende que surge de la estructura del espacio de operadores de la mecánica cuántica, permítanme intentar responder sus preguntas de manera más directa:

Un espacio de Hilbert no es más que un espacio vectorial (completo) con un producto interno. Como dijiste, esto proporciona (una versión de) el espacio de estado de la mecánica cuántica. Por lo tanto, cualquier vector debería ser un estado. Sin embargo, todo lo que podemos saber son los resultados de la medición, por lo que se pueden identificar los estados que conducen a las mismas mediciones para todas las mediciones. Dado que no se pueden distinguir por ninguna medida, ¿por qué deberíamos pensar que son diferentes? Si observa cómo funcionan las mediciones, puede ver que una fase global (es decir,$c\psi$si$\psi$es un vector de su espacio de Hilbert y$c\in\mathbb{C}$con$|c|=1$) no cambia el resultado. Si además requiere que las medidas estén relacionadas con probabilidades (regla de Born), desea que su estado$\psi$para ser normalizado. Esto significa que todos los vectores$c\psi$con$c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$representará el mismo estado, una vez que se normalice.

Todo esto se puede resumir diciendo que en lugar de todos los vectores en el espacio de Hilbert, solo considere el espacio que consta de las clases de equivalencia que acabamos de construir. Este es entonces el espacio proyectivo de Hilbert y es un espacio nuevo, no un subconjunto de su espacio anterior. Esto no tiene nada que ver con Gram-Schmidt, porque construyes un nuevo espacio, mientras que con Gram-Schmidt sigues viviendo en el mismo espacio vectorial.

En un ejemplo particular, generalmente trabaja con los espacios de Hilbert y no tiene en cuenta las fases globales y siempre normaliza su estado. Es como usar el espacio proyectivo de Hilbert, pero no tienes que saber nada sobre ellos.

Phoenix87 resume muy bien la situación general. Pero en una situación peatonal, con un espacio de Hilbert separable dado, al cambiar a los operadores de densidad para describir los estados, todo el problema desaparece, ya que son invariantes bajo cambios de factores de fase. Tenga en cuenta que los operadores de densidad son operadores de clase de traza positiva con traza 1, siendo los estados puros proyectores unidimensionales. Tenga en cuenta además que pueden existir estados más generales, siguen siendo funcionales positivos pero son más generales que los operadores de densidad.