¿Cuál es la diferencia entre representación y base en la mecánica cuántica?

La base de un espacio vectorial es un conjunto de elementos linealmente independientes tales que sus combinaciones lineales son densas en el espacio. La representación de un operador sobre una base dada es el conjunto de valores esperados de ese operador sobre la base dada, es decir, sus elementos de matriz.

Dado$\left\{a\right\}$como base de$V$, la representación de un operador$\hat{A}$sobre$\left\{a\right\}$es

En mecánica cuántica, dado un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$equipado con los vectores de base de posición$^1$ $|x\rangle$, la función de onda de un estado$|\psi\rangle$es el producto escalar$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$. Asimismo, la representación de un operador que actúa sobre un estado sobre una base dada es, por ejemplo:

$^1$El$|x\rangle$no son realmente vectores en el sentido propio, pero ese es otro asunto.