Fermiones, diferentes especies y reglas de (anti-)conmutación

Creo que las respuestas existentes a la pregunta son incompletas y confusas, así que permítanme elaborar.

El espacio de Hilbert de dos fermiones independientes de diferentes especies (piense en el electrón y el protón) es el producto tensorial de los respectivos espacios, y los operadores de campo para los dos fermiones actúan independientemente sobre los dos factores en el producto tensorial ($\psi_1\otimes I_2$y$I_1\otimes \psi_2$con$I_{1,2}$siendo los operadores de identidad en los dos pequeños espacios de Hilbert). A los operadores les gusta este desplazamiento por definición, ya que se trata de grados de libertad completamente independientes.

Esto se aplica absolutamente a cualquier campo cuántico: siempre que creen/aniquilen grados de libertad independientes, conmutan. Dos fermiones, dos bosones, un fermión y un bosón, lo que sea. La única vez que aparece la anticonmutación es cuando escribes las relaciones de un fermión consigo mismo.

Sin embargo , a veces tienes varios "sabores" de fermiones que se "mezclan" bajo la acción de algún grupo (piensa en quarks bajo$SU(3)$). En este caso tienen que anticonmutar para que las relaciones permanezcan invariables bajo la acción del grupo de mezcla. Esta es una señal de que la mejor manera de pensar en los sabores es como meros componentes de un campo fermiónico más grande con un índice adicional, que ahora no solo enumera los fermiones sino que los convierte en un solo elemento de una representación de un grupo.

Para resumir, las "especies" de cualquiera de los dos campos conmutan y los "sabores" de un campo fermiónico se contrarrestan (porque en realidad son solo componentes de un fermión más grande).

Quiero dar otra perspectiva. Los bosones frente a los fermiones generalmente se presentan considerando la función de onda de muchos cuerpos

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$$

en la base de la posición, donde$x_1,\ldots,x_N$son las posiciones de$N$partículas Si estos$N$las partículas son distinguibles, entonces permutando el$x_j$debería dar como resultado una función de onda físicamente equivalente, que difiere de la original en una fase. Estas fases deben definirse de manera consistente, lo que significa que dan un homomorfismo del grupo de permutación.$S_N \to U(1)$. Resulta que hay dos homomorfismos de este tipo, uno trivial y otro que es$-1$al número de intercambios. Estos corresponden a partículas bosónicas o fermiónicas, respectivamente.

Ahora consideramos un espacio de Hilbert que incluye$N$-estados de partículas para todos$N \ge 0$, con un estado$|0\rangle$llamamos el vacío. Definimos el operador de creación$a^\dagger(x)$que crea una partícula en$x$(todas las partículas son indistinguibles todavía). Entonces definimos

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle = a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1)|0\rangle.$$

Vemos que nuestra acción de permutación es así equivalente a la conmutatividad o anticonmutatividad de los operadores de creación en el caso bosónico o fermiónico, respectivamente.

Esta simetría de permutación impone restricciones reales en el permitido$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$, como el principio de exclusión de Pauli para fermiones.

Sin embargo, la simetría de permutación no es tan impresionante con múltiples tipos de partículas. Supongamos que tuviéramos otra especie de partículas en posiciones$y_1,\ldots,y_M$y una función de onda conjunta

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle.$$

Esta función de onda está fijada por$S_N \times S_M$, hasta fases, que determinan si cada especie es bosónica o fermiónica. No hay manera de intercambiar un$x$partícula con un$y$partícula, sin embargo.

También podemos definir otro conjunto de operadores de creación$b^\dagger(y)$que crean un$y$partícula en la posición$y$. y por lo cual

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle = b^\dagger(y_M) \cdots b^\dagger(y_1)a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1) |0\rangle.$$

Vemos que las representaciones de permutación de$S_N$y$S_M$determinan las relaciones de conmutación de las dos especies de operadores de creación consigo mismos, pero ¿determinan las relaciones de conmutación de ellos entre sí? En realidad, contrariamente a varias otras respuestas, no lo hacen .

Para ver por qué, estudiemos dos especies distintas de fermiones. Distintos físicamente significa que los números de partículas individuales, que son esquemáticamente

$$N = \int dx a^\dagger(x) a(x) \qquad M = \int dx b^\dagger(x) b(x)$$

ambos se conservan. Esta es la clave del argumento. Tenga en cuenta que estos son hemitianos.

Supongamos que ahora hacemos la cuantización habitual, donde$a$y$b$anti-conmutación. Definamos

$$b' = (-1)^N b.$$

Observamos que el$b'$anti-conmutar entre sí pero conmutar con el$a$'s . Además, podemos definir los estados de muchos cuerpos usando el$b'$'s y solo se diferencian por lo que teníamos arriba por un signo. Finalmente, la evolución temporal de la$b'$es equivalente a la evolución temporal de$b$porque$N$se conserva

La razón por la que algunas otras respuestas se equivocaron al pensar en cosas elegantes como$\mathbb{Z}_2$álgebras graduadas y corchetes de super-Poisson es que cuando hay múltiples especies, hay múltiples graduaciones: en este caso una$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$calificación

Desde un punto de vista geométrico, que es relevante para la bosonización, diríamos que todos los fermiones neutros se acoplan a la misma estructura de espín. Sin embargo, cuando hay simetrías globales, podemos adjuntar operadores de carga a nuestros fermiones para estas simetrías globales (como hicimos anteriormente), creando efectivamente múltiples estructuras de espín vistas por diferentes especies de fermiones.

Para obtener más información, consulte este documento: https://arxiv.org/abs/1312.0831

Los operadores fermiónicos de creación y aniquilación siempre satisfacen las relaciones de conmutación con operadores bosónicos (o más generalmente pares) y las relaciones de anticonmutación con los operadores fermiónicos de creación y aniquilación (o más generalmente operadores impares). Esto se deduce de las propiedades de los soportes superpoisson. Ver Superálgebra de Poisson

En particular, los operadores de creación para modos ortogonales distintos siempre son anticonmutación.

Fermiones$f_i,\,f_j$con sus respectivos momentos$\pi_i,\,\pi_j$ satisfacer las relaciones de anticonmutación canónicas de igual tiempo

$$\left\{\ f_i,\,f_j \right\} = \left\{\ \pi_i,\,\pi_j \right\} = 0,\,\left\{\ f_i\left(t,\,\mathbf{x}\right),\,\pi_j \left(t,\,\mathbf{x'}\right)\right\} = i\hbar \delta_{ij} \delta \left(\mathbf{x},\,\mathbf{x'}\right),$$ donde el segundo $\delta$es un delta de Dirac. El $i=j$caso especial es una generalización de una teoría de un solo fermón $f$de impulso $\pi$. ¿Por qué el $i\neq j$casos utilizan anticonmutadores en lugar de conmutadores? Porque queremos que nuestras reglas sean invariantes bajo $f_i \to \sum_j M_{ij} f_j,\,\pi_i \to \sum_j \left(M^{-1}\right)_{ji} \pi_j$para elecciones invertibles de la matriz $M$. No hay una forma consistente de lograr esto usando conmutadores a veces. Una explicación similar está disponible en términos de los operadores de escalera.