Imposición de relaciones anticonmutación en cuasipartículas fermiónicas

Todo se remontaba a la teoría de Landau del líquido de Fermi , cuando Landau suponía que los estados excitados de un líquido de Fermi (un líquido de Fermi es un gas de Fermi con una interacción adicional de dos cuerpos, o interacción electrón-fonón,...) obedecen Estadístico de Fermi-Dirac. Landau acuñó el término cuasipartículas para los electrones vestidos : un electrón convencional rodeado por una nube interactiva de cargas de protección, o partícula compuesta de electrones y fonones (llamadas plasmones). Cualquier libro sobre metal hablaría de eso. Los más famosos son

• AA Abrikosov Fundamentos de la Teoría de los Metales North-Holland (1988)
• AA Abrikosov, LP Gor'kov e IE Dzyaloshinsky Métodos de teoría cuántica de campos en física estadística Prentice Hall (1963).
• Philippe Nozières y David Pines Teoría de los líquidos cuánticos Westview Press (1999).

para los libros de primera generación que hablan de esos temas. Evitaría tanto como sea posible los libros modernos con respecto a su pregunta, ya que generalmente son muy descuidados al respecto. [NB: Por una buena razón: los desarrollos modernos de materia condensada exhiben a veces cuasi-partículas que no son ni bosones ni fermiones, pero esa es otra historia.]

Una introducción realmente pedagógica al tema de las cuasipartículas (lo que él observa en el artículo) está en

• RD Mattuck Una guía para los diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos Dover (1992)

especialmente los capítulos 2, 4 y 8.

Hay buena literatura para la superconductividad, especialmente con respecto a la transformación de Bogoliubov, además de la literatura original (bastante difícil de seguir, así que no les doy las referencias)

• PG de Gennes Superconductividad de metales y aleaciones , Westview (1966).
• AI Fetter y JD Walecka, Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas Dover Publications (2003, primera edición 1971)

Esos fueron los detalles que Trimok olvidó en su excelente respuesta .

Aquí estoy siguiendo esta referencia.

Consideramos aquí pares hechos de 2 socios fermiónicos. Asociamos un valor diferente de un parámetro$\sigma$para cada uno de los socios.

Los operadores fermiónicos de creación/aniquilación verifican:

$[c_{k,\sigma},c_{k',\sigma'}]_+ = 0$y$[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

La transformación de Bogoliubov-Valatin es:

$b_{k,\sigma} = (u_k ~c_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c^+_{-k,-\sigma})$,$b^+_{k,\sigma} = (u_k ~c^+_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c_{-k,-\sigma})$

Para simplificar, aquí$u_k$y$v_k$se suponen reales.

Entonces tenemos :

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - u_kv_{k'}\sigma'[c_{k,\sigma},c^+_{-k',-\sigma'}]_+ - v_{k}u_{k'}\sigma[c^+_{-k,-\sigma},c_{k',\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - (u_kv_{k'}\sigma'+ v_{k}u_{k'}\sigma)\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{k'} - v_{k}u_{k'})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{-k} - u_{-k}v_{k})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~$ $(1)$

La misma relación vale para$[b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+$

También tenemos:

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = u_ku_{k'}[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ +\sigma \sigma' v_{k}v_{k'}[c^+_{-k,-\sigma},c_{-k',-\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_ku_{k'} + \sigma \sigma' v_{k}v_{k'}) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_k^2 + v_k^2) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ $(2)$

Ahora, suponiendo:

$$u_k = u_{-k}, v_k = v_{-k}, (u_k^2 + v_k^2) = 1~~~~~~~~~~~~~~(3)$$ : Esta es una transformación canónica.

De la ecuación$(1)$, Obtenemos :

$$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = [b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+=0$$

De la ecuación$(2)$, obtenemos :

$$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$$

Esto demuestra que los operadores$b_{k,\sigma}, b^+_{k,\sigma}$son operadores fermiónicos que verifican las relaciones de anticonmutación.

Ver referencia - Capítulo 8-4, página 46

[EDITAR] Ahora podemos demostrar que es posible encontrar$u_k and v_k$, tales que obedecen a la ecuación (3), es decir corresponde a una transformación canónica.

Aquí solo damos la lógica seguida de la referencia y citamos la ecuación y la página precisas.

1) Escribe un hamiltoniano con los nuevos operadores$b_k, b^+_k$:

$$Formula~ (156)~ page~ 47$$

2) Introducción del número de operador$n_k$, expresión del hamiltoniano con estos operadores, y busca un valor propio$E$:

$$Formula~ (157 - 158)~ page~ 48$$

3) Minimizar E en relación con$u_k$

$$Formula~ (159)~ page~ 48$$

4) Expresión de$u_k,v_k$función de las energías$\epsilon_k$, potencial químico$\mu$, y una cantidad$\Delta$(esta última cantidad depende de$u_k,v_k,n_k$)

$$Formula~ (160, 161)~ page~ 48$$

5) En este punto, la exigencia de$u_k,v_k$representando una transformación canónica, dé una ecuación para la cantidad$\Delta$

$$Formula~ (162)~ page~ 48$$

6) Visualización de los parámetros$u_k,v_k$.

$$Figure ~ (36)~ page~ 49$$

7) Aproximación de campo medio: Se modifica el último término del hamiltoniano y el hamiltoniano de campo medio aparece en diagonal:

$$Formula~ (164)~ page~ 49$$

8) Conclusión de la referencia (comienzo de la página 50)

"El hecho de que la transformación de Bogoliubov-Valatin diagonalice el BCS-Hamiltoniano al menos en la aproximación de campo medio justifica a posteriori nuestra suposición de que el estado fundamental se puede encontrar como un estado propio de los operadores numéricos de ocupación ˆb. En la literatura, la clave Las relaciones (160) a menudo se derivan como diagonalizando el BCS-Hamiltoniano de campo medio en lugar de minimizar la expresión de energía (158). De hecho, ambas conexiones son igualmente importantes y solo proporcionan juntas la solución de ese Hamiltoniano. Claramente, la teoría BCS basada en en esa solución es una teoría del campo medio".