Equivalencia de simetría y operador unitario conmutante

1. Antes de que puedas probar$[H,U]=0$ciertamente tienes que definir qué$H'$es, de lo contrario la declaración$H' = H$no tiene ningún significado.

2. Sin embargo, no necesita la ecuación de Schrödinger para entender por qué$H' = U H U^\dagger$: Digamos que tenemos una transformación$U$actuando sobre vectores$\psi$como$\psi' = U\psi$y tenemos el operador$H$actuando$\psi$. Ahora queremos escribir un operador$H'$que tiene el mismo efecto en el transformado$\psi'$eso$H$tiene en$\psi$. Si piensas en esto, debe quedar claro que

   $$(H \psi)' = H' \psi' \qquad (\ast)$$ es la condición que estamos buscando, es decir$U(H\psi) = H'(U\psi)$. Si esto es válido para todos$\psi$, necesariamente obtenemos $$H' = U H U^\dagger \;.$$

Nota: En términos más técnicos, tenemos una transformación$U$actuando sobre el espacio de Hilbert$\mathcal H$en alguna representación. Esto siempre induce una representación única de$U$en el espacio de operadores de endomorfismos$\mathrm{End}(\mathcal H) = \mathcal H^\ast \otimes \mathcal H$por algunas reglas generales para que (*) se cumpla. Si$U$actúa en la representación fundamental$\psi' = U\psi$en$\mathcal H$entonces la representación inducida$H' = UHU^\dagger$se llama la representación adjunta.