¿Por qué las transformaciones de simetría tienen que conmutar con Hamiltonian?

A veces esto se afirma sin mucha explicación.

El operador de evolución temporal viene dado por la exponenciación del hamiltoniano:

$$U(t) = \exp(-i t\hat H / \hbar ).$$ Para ser concretos, cuando pensamos en una operación de simetría (lo que llamaste$U$) pensemos en rotaciones alrededor del$z$-eje. Una rotación por$\theta$grados está dado por $$R(\theta) = \exp(-i\theta \hat J_z/\hbar)$$ dónde$\hat J_z$es el operador de momento angular en el$z$-dirección.

Si nuestra simetría conmuta con las traslaciones de tiempo, tenemos

$$[U(t), R(\theta)] = 0 \implies U(t) R(\theta) = R(\theta) U(t).$$

Esto significa que, para cualquier$|\psi \rangle$,

$$U(t) R(\theta) |\psi \rangle = R(\theta) U(t) |\psi \rangle.$$

En otras palabras, si rotas el estado por$\theta$grados y luego esperar$t$segundos, terminará con el mismo estado que si esperara primero$t$segundos antes de girar$\theta$grados

La "conmutatividad" de estas operaciones es a menudo lo que los físicos quieren decir cuando dicen que tienen una simetría.

Derivando la ecuación$[U(t), R(\theta)] = 0$por$t$,$\theta$, o ambos, podemos ver que esta declaración es en realidad equivalente a cuatro declaraciones estrechamente relacionadas

1. $[e^{-i t \hat H/\hbar}, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: Rotar y luego evolucionar en el tiempo un estado es lo mismo que evolucionar en el tiempo y luego rotar. (Tenemos una simetría.)
2. $[e^{-i t \hat H/\hbar},\hat J] = 0$: El momento angular de un estado no cambia después de la evolución del tiempo. (Se conserva el momento angular.)
3. $[\hat H, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: La energía de un estado no cambia si se rota el estado.
4. $[\hat H, \hat J] = 0$: Si mide el momento angular de un estado, la probabilidad de que el estado tenga una energía particular después no cambiará. Lo contrario también es cierto. ($\hat H$y$\hat J$se puede diagonalizar simultáneamente.)

Requerir que un operador unitario$U$no cambia las tasas de transición es una declaración vacía, porque siempre es cierto que

$$\langle \psi | \chi\rangle = \langle U \psi | U\chi\rangle = \langle\psi | U^\dagger U |\chi\rangle\,.$$ Por otro lado, exigir que deje los valores de las expectativas sin cambios es una restricción demasiado fuerte. Tomemos por ejemplo un sistema rotacionalmente invariante. Si gira con respecto a cualquier eje que no sea$\vec{z}$, el valor esperado $$\langle \psi | \hat{J}_z | \psi\rangle\,,$$ cambiará. En particular, cambia de signo si rota por$\pi$alrededor, digamos,$\vec{x}$.

La respuesta corta a su pregunta es: por definición . Pero intentaré explicar la motivación.

Las simetrías en física están profundamente conectadas con las constantes de movimiento. Cada vez que tienes una simetría en la dinámica clásica (rotación, traslación,$U(1)$, ...) se obtiene una constante de movimiento (momento angular, momento, carga,...). Queremos importar el mismo concepto a la mecánica cuántica. Y resulta que los operadores juegan ambos roles al mismo tiempo. Actúan como generadores de una simetría si los usas en el estado y actúan como constantes de movimiento si tomas su valor esperado.

Ahora veamos por qué un operador con un valor esperado constante en el tiempo debe conmutar con el hamiltoniano. Llamar$J$el generador de la simetría y$U(\theta) = \exp(i\theta J)$su operador unitario asociado. Nuestro valor esperado es

$$E_\psi(t) \equiv \langle \psi | e^{i H t / \hbar}\,J\, e^{-i H t / \hbar}| \psi\rangle\,.$$ Requerimos que la derivada de esto sea cero $$-i\hbar\frac{\mathrm{d}E_\psi}{\mathrm{d}t} = \langle \psi | \,[H, J]\,|\psi\rangle = 0\;\;\forall\;\psi \in \mathscr{H}\,(\mbox{Hilbert space})\,.$$ Obviamente si tomas$\psi = \chi + \phi$puedes probar que$\langle\chi|[H,J]|\phi\rangle= 0$entonces el conmutador es cero como operador. Finalmente, si$H$viaja con$J$, entonces conmuta con cualquier serie de potencias en$J^n$y por lo tanto$U(\theta)$también.

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Como se señaló en los comentarios, esto es cierto para simetrías continuas, donde tiene la simetría de correspondencia$\leftrightarrow$constante de movimiento. Pero las simetrías discretas también deben conmutar con el hamiltoniano, por definición.

Por supuesto, hay otras formas de motivarlo y dependen de la definición que le guste elegir:

1. Las simetrías son aquellas transformaciones que no modifican la energía de ningún estado.

2. Las simetrías son aquellas transformaciones que mantienen invariantes las ecuaciones de movimiento.

Si te gusta la definición 1. es fácil.

$$H U|\psi_n\rangle = E_n U |\psi_n\rangle\;\Longleftrightarrow \; [H,U] = 0\,.$$ Si te gusta la definición 2. toma la variable canónica$q_i$. En el cuadro de Heisenberg $$q_i(t) = e^{i H t/\hbar} q_i e^{-i H t/\hbar}\,,\qquad q_i \to q_i' = U^\dagger q_i U\,.$$ $U$es una simetria si$q_i'(t) = (q_i(t))'$. Este punto de vista se abordó en la respuesta @ user1379857.

Si un operador no conmuta con un hamiltoniano, entonces los estados propios de ese operador no son también estados propios del hamiltoniano. En ese caso, decimos que la transformación definida por el operador no es una simetría del sistema.

He aquí un ejemplo de la física clásica. La ley de que la magnitud y la dirección del momento angular de un vector son constantes es una consecuencia del teorema de Noether , donde la transformación de interés son los cambios de orientación en el espacio. El momento angular se conserva porque el espacio no tiene una dirección preferida. Pero, aquí en la superficie de la Tierra, el espacio tiene una dirección preferida: es "abajo". Y así, si tienes un objeto aislado girando sobre la superficie de la Tierra, su momento angular generalmente no es una constante. En cambio, la orientación del objeto giratorio precesa.

Si tiene algún operador que no conmuta con el hamiltoniano, diría que la transformación incorporada por ese operador no es una simetría de su sistema.