Si entiendo correctamente, en muchos contextos de física (¿mecánica cuántica?), un sistema físico se especifica dando su hamiltoniano. También escuché que las simetrías son bastante esenciales.
En cuanto a las simetrías más naturales, parece bastante fácil reconocerlas. Aparentemente, deberían ser automapas lineales del espacio de Hilbert subyacente, lo que parece bastante natural, y seguramente deberían conmutar con el hamiltoniano (si transforma el sistema por simetría y luego usa el hamiltoniano para averiguar cómo evoluciona, el resultado debería ser ser el mismo que cuando observa por primera vez la evolución del tiempo y luego aplica la simetría).
Por un tiempo pensé que esto es justo lo que se supone que hace una simetría, pero luego me di cuenta de que cualquier mapa que mantuviera los espacios propios del invariante hamiltoniano serviría, y sospecho que esto no es del todo correcto. Además, parece que también hay otros operadores, que se usan a menudo al definir el hamiltoniano --- No estoy seguro de si se supone que una simetría conmuta con estos también...
Estaría extremadamente agradecido si alguien pudiera explicarme qué son realmente las simetrías de un sistema físico (visto desde el punto de vista del hamiltoniano), y por qué se definen así y no de manera diferente. Una explicación en términos de laico/matemático sería aún más apreciada.
Descargo de responsabilidad: soy matemático, no físico.
Hay un resultado fundamental llamado teorema de Wigner sobre las simetrías en la mecánica cuántica que creo que arrojará mucha luz sobre este tema. El teorema caracteriza las simetrías en mecánica cuántica dado que generalmente se definen como mapeos en el espacio de Hilbert que preservan las probabilidades de transición. No hay otra restricción general sobre las simetrías en la mecánica cuántica, que yo sepa. Hay una discusión agradable (no completamente rigurosa) de este teorema en el apéndice A del volumen 1 de QFT de Weinberg.
Por otro lado, existe una noción relacionada, la de cantidades conservadas. En el contexto de la mecánica cuántica, las cantidades observables (operadores autoadjuntos) que conmutan con el hamiltoniano se conservarán en virtud de la ecuación de Heisenberg para la evolución temporal.
Hay dos grandes campos de la física: la relatividad general y la teoría de los campos cuánticos.
Simetrías de la Relatividad General:
Invariante de Lorentz: surge de que la velocidad de la luz es constante independientemente del marco de referencia de uno. Experimento de Michelson-Morley
Calibre invariante:
Simetrías de Quantum Fields (Modelo estándar, hay otros modelos con otras simetrías pero el estándar se acepta donde sea):
Invariante de Lorentz: Misma razón.
surge de la interacción electromagnética.
surge de simetrías experimentales de interacción débil.
surge de simetrías experimentales de interacción fuerte.
alex nelson