Inducción de forma cerrada de suma

El primero es un ejercicio bastante estándar. Dejar$S_k = \sum_{k=a}^b r^k$.$\space$Entonces

$$rS_k = r\sum_{k=a}^b r^k = \sum_{k=a}^b r^{k+1}$$ entonces $$rS_k-S_k = (r^{a+1}+r^{a+2}+ \dots + r^{b+1})- (r^{a}+r^{a+1}+ \dots + r^{b}) \\ = r^{b+1}-r^{a}$$ y desde $$rS_k-S_k = S_k(r-1)$$ tenemos suficiente para saber que $$S_k(r-1)=r^{b+1}-r^{a} \\ \implies S_k = \frac{r^{b+1}-r^{a}}{r-1}$$ Trate de usar una táctica similar para derivar la segunda igualdad que le interesa, o simplemente conecte $r = \frac{1}{\hat{r}}$y resolver en términos de $\hat{r}$para que se parezca a la segunda ecuación.