¿Qué significa la constante de decaimiento?

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¿Qué significa la constante de decaimiento?

unidades
Física
radiación
análisis dimensional

OscuridadLuzA

En mi plan de estudios, la constante de descomposición es "la probabilidad de descomposición por unidad de tiempo"

Para mí, esto no parece tener sentido, ya que la constante de descomposición puede ser mayor que uno, lo que implicaría que una partícula tiene una probabilidad de decaer en un lapso de tiempo mayor que 1.

¿Alguien puede explicar esto?

Respuestas (3)

¿Qué significa la constante de decaimiento?

david z · Answer 1

Te estás perdiendo dos cosas. Primero, que la constante de decaimiento es la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo . Esa parte es importante. La probabilidad real de descomposición durante un período de tiempo corto es igual a la probabilidad por unidad de tiempo, multiplicada por el período de tiempo:

PAG = λ Δ t

$P = \lambda\Delta t$

$\lambda$ puede ser tan grande como quieras, pero por un intervalo lo suficientemente pequeño $\Delta t$ , todavía tendrás $P < 1$ . Así que no hay contradicción ahí.

Lo otro que te falta es que $\lambda$ es sólo la probabilidad por unidad de tiempo dado que el núcleo aún no se ha desintegrado . Eso también es importante. Tienes que empezar con un núcleo sin descomponer.

Así que digamos que tienes un núcleo sin descomponer en $t = 0$ .

\begin{aligned} {PAG}_{0} (decaido) & = 0 & {PAG}_{0} (sin decaer) & = 1 \end{aligned}

$\begin{align} P_0(\text{decayed}) &= 0 & P_0(\text{undecayed}) &= 1 \end{align}$

Después de un corto tiempo $\Delta t$ , la probabilidad de que se haya desintegrado es $\lambda\Delta t$ , como anteriormente.

\begin{aligned} {PAG}_{1} (decaido) & = λ Δ t & {PAG}_{1} (sin decaer) & = 1 - λ Δ t \end{aligned}

$\begin{align} P_1(\text{decayed}) &= \lambda\Delta t & P_1(\text{undecayed}) &= 1 - \lambda\Delta t \end{align}$

Ahora considere el siguiente intervalo de tiempo, desde $t = \Delta t$ a $t = 2\Delta t$ . Si el núcleo no se desintegró en el primer intervalo de tiempo, tiene una probabilidad $\lambda\Delta t$ de decaer en este segundo intervalo. Pero si el núcleo se desintegró en el primer intervalo de tiempo, la probabilidad de que se haya desintegrado al final del segundo intervalo de tiempo es 1. Entonces, en general, la probabilidad de que se haya desintegrado en $t = 2\Delta t$ es

\begin{aligned} {PAG}_{2} (decaido) & = {PAG}_{1} (sin decaer) λ Δ t + {PAG}_{1} (decaido) (1) \\ = (1 - λ Δ t) λ Δ t + λ Δ t \\ = (2 - λ Δ t) λ Δ t \\ {PAG}_{2} (sin decaer) & = {PAG}_{1} (sin decaer) (1 - λ Δ t) \\ = (1 - λ Δ t)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} P_2(\text{decayed}) &= P_1(\text{undecayed})\lambda\Delta t + P_1(\text{decayed})(1) \\ &= (1 - \lambda\Delta t)\lambda\Delta t + \lambda\Delta t \\ &= (2 - \lambda\Delta t)\lambda\Delta t \\ P_2(\text{undecayed}) &= P_1(\text{undecayed})(1 - \lambda\Delta t) \\ &= (1 - \lambda\Delta t)^2 \end{align}$

Probablemente puedas ver el patrón desde aquí:

\begin{aligned} {PAG}_{3} (decaido) & = {PAG}_{2} (sin decaer) λ Δ t + {PAG}_{2} (decaido) (1) \\ = (1 - λ Δ t)^{2} λ Δ t + (2 - λ Δ t) λ Δ t \\ = (3 - 3 λ Δ t + (λ Δ t)^{2}) λ Δ t \\ {PAG}_{3} (sin decaer) & = {PAG}_{2} (sin decaer) (1 - λ Δ t) \\ = (1 - λ Δ t)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} P_3(\text{decayed}) &= P_2(\text{undecayed})\lambda\Delta t + P_2(\text{decayed})(1) \\ &= (1 - \lambda\Delta t)^2\lambda\Delta t + (2 - \lambda\Delta t)\lambda\Delta t \\ &= \bigl(3 - 3\lambda\Delta t + (\lambda\Delta t)^2\bigr)\lambda\Delta t \\ P_3(\text{undecayed}) &= P_2(\text{undecayed})(1 - \lambda\Delta t) \\ &= (1 - \lambda\Delta t)^3 \end{align}$

En particular, en $t = n\Delta t$ ,

{PAG}_{norte} (sin decaer) = (1 - λ Δ t)^{norte}

$P_n(\text{undecayed}) = (1 - \lambda\Delta t)^n$

Ahora, en el límite donde $\Delta t$ es corto, y $n$ es grande, como debe ser si $T = n\Delta t$ va a ser un intervalo de tiempo de escala normal, puede reconocer esto como un exponencial:

\underset{norte \to \infty}{límite} {PAG}_{norte} (sin decaer) = \underset{norte \to \infty}{límite} (1 - λ Δ t)^{norte} = \underset{norte \to \infty}{límite} (1 - \frac{λ T}{norte})^{norte} = {mi}^{- λ T}

$\lim_{n\to\infty}P_n(\text{undecayed}) = \lim_{n\to\infty}(1 - \lambda\Delta t)^n = \lim_{n\to\infty}\biggl(1 - \frac{\lambda T}{n}\biggr)^n = e^{-\lambda T}$

Entonces, la ecuación para el decaimiento exponencial surge naturalmente del hecho de que la constante de decaimiento es la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo para un núcleo sin decaer . (O, por supuesto, el mismo argumento se aplica a cualquier otro sistema que sufra un decaimiento exponencial, no solo a los núcleos).

Por qué es eso $lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$ todavía se mantiene incluso cuando $x$ es una función de $n$ ? ( $T=T(n)$ en nuestro caso).
@floccinaucinihilipilificator No lo hace. Pero en este caso $T$ no es lo que deberías pensar como una función de $n$ . Es $\Delta t$ que es una función de $n$ , específicamente $\Delta t(n) = T/n$ , dónde $T$ es una constante

Ruslán · Answer 2

La constante de decaimiento no es una probabilidad.

Como está escrito aquí , es una constante de proporcionalidad entre el tamaño de la población de átomos radiactivos y la velocidad a la que la población disminuye debido a la descomposición:

- \frac{d norte}{d t} = λ norte,

$-\frac{dN}{dt}=\lambda N,$ dónde

λ

$\lambda$ es constante el decaimiento y

N

$N$ es población.

Mirando la solución de la ecuación anterior podemos decir: $N=N_0 \exp(-\lambda t)$ , así que aquí podemos ver que $\lambda$ es el inverso del tiempo necesario para que la población disminuya por un factor de $e$ .

Si lee el artículo al que se vincula su pregunta después de editarlo por @Qmechanic, verá otros ejemplos de decaimiento exponencial, no solo para el decaimiento radiactivo.

jkej · Answer 3

La probabilidad de que un solo núcleo se desintegre en un corto período de tiempo está dada aproximadamente por la constante de desintegración multiplicada por la duración del período de tiempo. Esta es solo una aproximación de primer orden del decaimiento exponencial. Si la constante de decaimiento es mayor que uno, la unidad de tiempo en la que se da es obviamente demasiado grande para que la aproximación de primer orden sea válida en esa escala de tiempo.

¿Qué significa que una constante dimensional sea mayor que uno (que es adimensional)?

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