Curiosa relación entre la dependencia en ℏ de las unidades de Planck y las dimensiones de las unidades

Fíjate que mides en las cinco unidades correspondientes a$L,T,M,Q,Θ$.

Elija una unidad, diga tiempo$T$. entonces en primer lugar

$[c]=L T^{−1},$

traduce longitud a tiempo, entonces

$[G]=M^{−1} L^3 T^{−2}=TM^{-1},$

traduce masa a tiempo, entonces

$[1/ε_0]=Q^{−2}L^3 M T^{−2}=(TQ^{-1})^2 ,$

traduce carga a tiempo, entonces

$[k_B]=Θ^{−1}L^2 M T^{−2}=TΘ^{−1}$

traduce temperatura a tiempo, y luego

$[\hbar]=L^2 M T^{−1}=T^2$

es el único con exponente no nulo. El punto es que no usas "$L^2 M$" de la constante de potencia como una unidad, por lo que esta es la cantidad que sobra.

Después del proceso de eliminación, las unidades son múltiplos de

$[\sqrt{\hbar}]=T.$

Como no le gusta el análisis dimensional, intentaré un enfoque ligeramente diferente (pero en última instancia equivalente) tratando de relacionar las unidades de Planck con las cantidades físicas.

La masa de Planck es la masa del agujero negro más pequeño posible. También es una energía porque$c=1$. La longitud de Planck es el tamaño de dicho agujero negro y el tiempo de Planck es el tiempo de recorrido de la luz sobre una longitud de Planck. Dado que el tamaño de un agujero negro es proporcional a su masa, las tres cantidades son proporcionales entre sí. Además, las constantes de proporcionalidad no pueden implicar$\hbar$ya que las relaciones entre ellos son esencialmente clásicas (el tamaño de los agujeros negros, la velocidad de la luz). Así que estos tres escalan de la misma manera en términos de$\hbar$.

Ahora la temperatura es una energía y la única energía que existe es la masa de Planck, así que nuevamente tienes la conexión. Puede pensar en esto como la temperatura en la que los agujeros negros planckianos se producen térmicamente en abundancia, por lo que es una especie de temperatura máxima que podría tener un sistema razonable.

Por cierto, la temperatura de Hawking de un agujero negro es proporcional a$\hbar$ya que es un efecto mecánico cuántico, pero también es inversamente proporcional a la masa, y dado que la masa de Plank$\sim\sqrt\hbar$, la escala neta para la temperatura de un agujero negro planckiano es$\sim\sqrt\hbar$lo mismo que la masa de Planck. Si la temperatura de Planck se define de esta manera, puede encontrar esto menos que satisfactorio ya que realmente no establecí la escala de la masa de Planck antes, solo que se escala de la misma manera que las otras cantidades.

Eso deja el cargo de Planck. Esta es la carga máxima permitida para un agujero negro planckiano cargado (un agujero negro extremo ). La carga de un agujero negro extremo es proporcional a su masa (no tengo intuición de por qué), por lo que se escala de la misma manera nuevamente. Puede ver este resultado a partir de la métrica de un agujero negro cargado, pero no conozco ninguna razón intuitiva. Tal vez alguien más podría iluminarnos a ambos sobre este asunto.

Gran advertencia : nada de esto tiene en cuenta las cosas de la gravedad cuántica que seguramente dominan a esta escala. Esta es una gran cantidad de gestos a mano, pero aparte del análisis dimensional, esto es lo que puedo darle.