Unidad de una función de densidad de probabilidad logarítmica normal

Las unidades de una función de densidad de probabilidad (PDF) para una cantidad$x$, son el inverso de las unidades de$x$. Por ejemplo, si$x$tiene unidades de longitud, entonces el PDF$P(x)$tiene unidades de 1/longitud, por lo que la probabilidad$P(x) dx$es adimensional.

El hecho de que la forma funcional del PDF pueda ser una distribución logarítmica normal no es relevante para las dimensiones del PDF.

Tenga en cuenta que el acrónimo PDF también puede referirse a una función de distribución de probabilidad , en el contexto de variables aleatorias discretas. Por supuesto, una distribución logarítmica normal es continua, por lo que su pregunta presumiblemente se refiere a funciones de densidad de probabilidad. Sin embargo, para evitar confusiones, como lo señaló @JohnDarby, en el contexto de las variables aleatorias discretas, la función de distribución de probabilidad no tiene dimensiones, porque proporciona probabilidades sin dimensiones para cada resultado posible.

Considere cualquier variable aleatoria continua$V$con la función de densidad de probabilidad$p_V$. Para$v$cualquier valor específico de$V$,$p_{V}(v)$no es una probabilidad. La probabilidad de un valor específico de$V$es exactamente$v$es siempre cero y no tiene sentido; lo que tiene sentido es la probabilidad de que$V$está dentro$dv$acerca de$v$y esa probabilidad es$p_V(v)dv$que siempre es adimensional independientemente de las unidades de V como debe ser ya que es una probabilidad. Entonces las unidades de$p_{v}$son las unidades inversas de$V$. Vea la respuesta anterior de @Andrew.

Para una variable aleatoria discreta$R$con densidad de probabilidad$p_{R}$, la probabilidad de que$R$es el valor especifico$r$es$p_{R}(r)$.$p_{R}$para una variable discreta es la "función de masa de probabilidad" a veces llamada "función de densidad de probabilidad" y siempre adimensional independientemente de las unidades de R como debe ser ya que es una probabilidad.

Una distribución logarítmica normal es un caso especial. Una distribución log-normal para la variable aleatoria continua$X$significa que el logaritmo de$X$se distribuye normalmente. Si$Y=ln(X)$e Y se distribuye normalmente, entonces la distribución para$X$es una distribución log-normal. La variable Y es adimensional ya que es el logaritmo de un número. Entonces, la función de densidad de probabilidad$p_{Y}$también es adimensional para este caso especial.$X$pueden tener dimensiones, por lo que las unidades de$p_{X}$son las unidades inversas de$X$.